2. Mediante o uso de uma tabela, calcule cada uma das seguintes integrais indefinidas.

( c )   ∫ s e n 2 ⁡ ( x ) 1 + c o s e c 2 ⁡ ( x ) d u

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida ∫ s i n 2 ⁡ ( x ) 1 + c s c 2 ⁡ ( x ) d x usando a substituição trigonométrica. Vamos resolver passo a passo:

Passo 1: Lembre-se de que c s c ⁡ ( x ) = 1 s i n ⁡ ( x ) . Vamos usar a identidade trigonométrica c s c 2 ⁡ ( x ) = 1 s i n 2 ⁡ ( x ) para simplificar a integral.

Passo 2

Passo 2: A integral se torna:

∫   s i n 2 ⁡ ( x ) 1 + 1 s i n 2 ⁡ ( x ) d x

Realizando a distributiva temos:

∫   s i n 2 ⁡ ( x ) +   s i n 2 ⁡ ( x ) s i n 2 ⁡ ( x ) d x

Agora, simplificamos   s i n 2 ⁡ ( x ) s i n 2 ⁡ ( x ) que é igual a 1, deixando-nos com

∫   s i n 2 ⁡ ( x ) + 1   d x

Passo 3

Agora podemos dividir a integral em duas partes separadas:

∫   s i n 2 ⁡ ( x ) d x + ∫ 1   d x

A primeira integral ∫sin² (x)dx pode ser resolvida usando uma identidade trigonométrica:

s i n 2 ( x ) =   1 / 2   ( 1 - c o s ( 2 x ) ⁡

Então, temos:

∫ 1 / 2   1 - c o s ⁡ ( 2 x ) d x + ∫ 1   d x

Agora, integramos termo a termo:

1 / 2 ∫   1 - c o s ⁡ ( 2 x ) d x + ∫ 1   d x

1 / 2   x - 1 / 2   s e n ⁡ ( 2 x ) + x + C

3 x / 2 - 1 / 4   s e n ⁡ ( 2 x ) + C

Resposta

3 x / 2 - 1 / 4   s e n ⁡ ( 2 x ) + C

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