A parábola y = 1 2 x 2 divide o disco x 2 + y 2 ≤ 8 em duas partes. Encontre as áreas de ambas as partes.

Passo 1

Fala pessoal! Tudo certinho com vocês?

Nessa questão temos um disco, dado pela equação:

  x 2 + y 2 ≤ 8  

Ele está centrado na origem do plano cartesiano, e tem raio igual a 8 .

E, temos também uma parábola, dada por:

y = 1 2 x 2

Que possui ponto de mínimo em ( 0,0 ) . (Lembra que ( x V é r t i c e ,   y V é r t i c e ) = - b 2 a ,   - Δ 4 a .

O objetivo do exercício é calcularmos as duas áreas em que a parábola dividiu o disco.

Como podemos fazer isso?

Podemos esboçar um gráfico pra visualizar o que esta acontecendo

Com isso, podemos ver que os pontos de intersecçãoões entre as curvas, são os pontos x = ± 2 , então, teremos esses limites de integração, agora, vamos deixar y em função de x

y = 8 - x 2

Agora, basta integrarmos

A 1 = ∫ - 2 2 8 - x 2 - 1 2 x 2 d x = ∫ - 2 2 8 - x 2 d x - 1 2 ∫ 2 2 x 2 d x

Vamos calcular cada integral separadamente

Passo 2

Calculando a primeira integral

∫ - 2 2 8 - x 2 d x

Puts, ela parece bem chatinha né? Mas, tem um macete bem legal.

Quando temos x 2 dentro de raiz no numerador é uma boa tentar fazer uma substituição trigonométrica com seno ou cosseno. Isso porque muitas vezes aparece justamente a relação fundamental da trigonometria ( s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 ) , e aí sumimos com a raiz. Se liga:

Vamos dizer que x = 8 sin ⁡ t , diferenciando, temos que d x = cos ⁡ t d t . Então, substituindo

∫ - 2 2 8 - x 2 d x = ∫ t 1 t 2 8 - 8 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t d t = ∫ t 1 t 2 8 cos 2 ⁡ t d t = 8 2 ∫ t 1 t 2 1 + cos ⁡ 2 t d t = 8 2 t + 1 2 sin ⁡ 2 t t 1 t 2 = 8 2   t + sin ⁡ t cos ⁡ t t 1 t 2

Dissemos que x = 8 sin ⁡ t , então

t = sin - 1 ⁡ x 8

Na resolução da integral, vimos que

8 - x 2 = 8 cos ⁡ t

Então

cos ⁡ t = 8 - x 2 8

Então, substituindo, ficamos com

8 2   t + sin ⁡ t cos ⁡ t t 1 t 2 = 8 2   sin - 1 ⁡ x 8 + x 8   8 - x 2 8 - 2 2 = 8 2   sin - 1 ⁡ x 8 +   x 8 - x 2 8 - 2 2 = 2 1 2 + π 4 - 2 - 1 2 - π 4 = 2 2 1 2 + π 4

Passo 3

Calculando a segunda integral

1 2 ∫ 2 2 x 2 d x = 1 6 x 3 - 2 2 = 8 3

Logo

A 1 = 2 2 1 2 + π 4 - 8 3

Para encontrarmos a outra área, basta fazermos

A c = A 1 + A 2

A 2 = A c - A 1

A 2 = 8 π - 2 2 1 2 + π 4 + 8 3

Prontinho galera! É isso aí, espero que vocês tenham curtido a solução!Até a próxima 😊

Resposta

A 1 = 2 2 1 2 + π 4 - 8 3

A 2 = 8 π - 2 2 1 2 + π 4 + 8 3

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