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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UFSC – Cálculo 2 – Prof. Dr. Romulo Castillo – P1 – 2015/2

1.1 Resolva ∫ x + 1 2 x 2 + 1 d x

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos resolver a integral ∫ x + 1 2 x 2 + 1 d x

Pra isso vamos usar substituição simples, substituição trigonométrica e integração por partes.

Passo 2

Expandindo esse quadrado aí:

∫ x + 1 2 x 2 + 1 d x = ∫ x 2 + 2 x + 1 x 2 + 1 d x

Vamos dividir em três integrais:

= ∫ x 2 x 2 + 1 d x + ∫ 2 x x 2 + 1 d x + ∫ x 2 + 1 d x

Repara que na integral do meio podemos resolver por substituição simples (já que a derivada de x 2 + 1 é 2 x )

Resolvendo a integral do meio por substituição simples:

u = x 2 + 1

d u = 2 x   d x

A integral fica:

∫ 2 x x 2 + 1 d x = ∫ u   d u

= ∫ u 1 2   d u

= u 3 2 3 2

= 2 3 u 3 2

Voltando pra x :

∫ 2 x x 2 + 1 d x = 2 3 x 2 + 1 3 2

Passo 3

Agora vamos resolver a primeira integral:

∫ x 2 x 2 + 1 d x

Como tem esse x 2 + 1 dentro da raiz, podemos usar a substituição trigonométrica:

x = tan ⁡ θ

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

A integral fica:

∫ x 2 x 2 + 1 d x = ∫ tan ⁡ θ 2 tan ⁡ θ 2 + 1 sec 2 ⁡ θ   d θ

Usando a identidade trigonométrica sec 2 ⁡ θ = tan 2 ⁡ θ + 1

= ∫ tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

= ∫ tan 2 ⁡ θ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Usando a identidade trigonométrica tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1

= ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 sec 3 ⁡ θ d θ

= ∫ sec 5 ⁡ θ d θ - ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

Passo 4

Calculando primeiro ∫ sec 3 ⁡ θ d θ   ... Pra usar integração por partes, podemos separar assim (já lembrando que a integra de tangente é secante ao quadrado):

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Integrando por partes:

u = sec ⁡ θ → d u = tan ⁡ θ sec ⁡ θ

d v = sec 2 ⁡ θ → v = tan ⁡ θ

Então:

∫ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ - ∫ tan ⁡ θ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

= sec ⁡ θ tan ⁡ θ - ∫ tan 2 ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Usando tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1 :

= sec ⁡ θ tan ⁡ θ - ∫ sec 2 ⁡ θ - 1 sec ⁡ θ d θ

= sec ⁡ θ tan ⁡ θ - ∫ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - sec ⁡ θ d θ

= sec ⁡ θ tan ⁡ θ - ∫ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ + ∫ sec ⁡ θ d θ

Podemos passar o ∫ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ pro outro lado somando. Daí ficamos com:’

2 ∫ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ + ∫ sec ⁡ θ d θ

2 ∫ sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ + ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ

Então:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 + ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ 2

Passo 5

Agora vamos resolver ∫ sec 5 ⁡ θ d θ . Pra usar integração por parte, vamos dividir tem:

∫ sec 5 ⁡ θ d θ = ∫ sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Integrando por partes:

u = sec 3 ⁡ θ → d u = 3 sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ

d v = sec 2 ⁡ θ → v = tan ⁡ θ

Então:

∫ sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ - ∫ 3 sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ tan ⁡ θ d θ

= sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ - ∫ 3 sec 3 ⁡ θ tan 2 ⁡ θ d θ

Usando tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1 :

= sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ - ∫ 3 sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

= sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ - ∫ 3 sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ + ∫ 3 sec 3 ⁡ θ d θ

Podemos passar o ∫ 3 sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ pro outro lado somando:

4 ∫ sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ + 3 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

No passo 4 achamos ∫ sec 3 ⁡ θ d θ . Daí:

4 ∫ sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ + 3 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 + ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ 2

Então:

∫ sec 3 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ 4 + 3 4 sec ⁡ �� tan ⁡ θ 2 + ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ 2

Passo 6

Então temos que:

∫ sec 5 ⁡ θ d θ - ∫ sec 3 ⁡ θ d θ =

sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ 4 + 3 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 + ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ 2 - sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 + ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ 2

= sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ 4 - 1 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 + ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ 2

Agora sim conseguimos achar a segunda integral... Mas antes precisamos voltar pra x .

Como x = tan ⁡ θ   e tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ , então:

x 2 + 1 = sec 2 ⁡ θ

sec ⁡ θ = x 2 + 1

Daí:

sec 3 ⁡ θ tan ⁡ θ 4 - 1 4 sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 + ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ 2 = x x 2 + 1 3 2 4 - 1 4 x x 2 + 1 1 2 2 + ln ⁡ x + x 2 + 1 1 2 2

Então, pra segunda integral:

∫ x 2 x 2 + 1 d x = x x 2 + 1 3 2 4 - 7 4 x x 2 + 1 1 2 2 + ln ⁡ x + x 2 + 1 1 2 2

Passo 7

Falta resolver a terceira integral.... misericórdiaaaa!!!!

Mas bora lá...

∫ x 2 + 1 d x

Também vamos usar substituição trigonométrica:

x = tan ⁡ θ

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

A integral fica:

∫ x 2 + 1 d x = ∫ tan ⁡ θ 2 + 1 sec ⁡ θ d θ

= ∫ sec 3 ⁡ θ

Ohhh... essa integral nós calculamos no passo 4:

∫ sec 3 ⁡ θ = sec ⁡ θ tan ⁡ θ 2 + ln ⁡ tan ⁡ θ + sec ⁡ θ 2

Voltando pra x :

∫ x 2 + 1 d x = x x 2 + 1 1 2 2 + ln ⁡ x + x 2 + 1 1 2 2

Passo 8

Agora falta juntar tudo, né???

Daí ficamos com:

∫ x 2 x 2 + 1 d x + ∫ 2 x x 2 + 1 d x + ∫ x 2 + 1 d x =

2 3 x 2 + 1 3 2 + x x 2 + 1 3 2 4 - 1 4 x x 2 + 1 1 2 2 + ln ⁡ x + x 2 + 1 1 2 2 +

x x 2 + 1 1 2 2 + ln ⁡ x + x 2 + 1 1 2 2

E chegamos na resposta final, depois de muito sofrimento. Só falta adicionar a constante no final, pois é uma integral indefinida:

  ∫ x + 1 2 x 2 + 1 d x = 2 3 x 2 + 1 3 2 + x x 2 + 1 3 2 4 - 1 4 x x 2 + 1 1 2 2 + ln ⁡ x + x 2 + 1 1 2 2 +

x x 2 + 1 1 2 2 + ln ⁡ x + x 2 + 1 1 2 2 + C

Resposta

2 3 x 2 + 1 3 2 + x x 2 + 1 3 2 4 - 1 4 x x 2 + 1 1 2 2 + ln ⁡ x + x 2 + 1 1 2 2 +

x x 2 + 1 1 2 2 + ln ⁡ x + x 2 + 1 1 2 2 + C

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