Seja n ∈ Q + ; b ∈ R ; b 2 > x 2 . Prove a fórmula de recorrência abaixo: ∫ b 2 - x 2 n d x = x 2 n + 1 b 2 - x 2 n + b 2 n n + 1 2 ∫ b 2 - x 2 n - 1 d x Passo 1Na integral abaixo substitua x = b sin t , tal que d x = b cos t d t . Assim: ∫ b 2 - x 2 n d x = ∫ b 2 - b 2 sin 2 t n b cos t d t = ∫ b 2 n cos 2 n t ⋅ b cos t d t = ∫ b 2 n + 1 cos 2 n + 1 t d t = ∫ b 2 n - 1 cos 2 n - 1 t b 2 - b 2 sin 2 t d t = b 2 ∫ b 2 n - 1 cos 2 n - 1 t d t - b 2 n + 1 ∫ cos 2 n - 1 t sin t ⋅ s i n t d t Passo 2A primeira integral podemos reescrever como: b 2 ∫ b 2 n - 1 cos 2 n - 1 t d t = b 2 ∫ b 2 n - 2 cos 2 n - 2 t ⋅ b cos t d t = b 2 ∫ b 2 cos 2 t n - 1 ⋅ b cos t d t = b 2 ∫ b 2 - b 2 sin 2 t n - 1 ⋅ b cos t d t = b 2 ∫ b 2 - x 2 n - 1 d x Considerando x = b sin t , tal que d x = b cos t d t . Já para a segunda, apliquemos integração por partes: u = sin t d v = cos 2 n - 1 t sin t ⇒ d u = cos t d t v = - 1 2 n cos 2 n t Tal que b 2 n + 1 ∫ cos 2 n - 1 t sin t ⋅ s i n t d t = b 2 n + 1 ( u v - ∫ v d u ) = - b 2 n + 1 2 n sin t cos 2 n t - b 2 n + 1 ∫ - 1 2 n cos 2 n t cos t d t = - b sin t 2 n b 2 cos 2 t n + 1 2 n ∫ b 2 cos 2 t n ⋅ b cos t d t = - b sin t 2 n b 2 - b 2 sin 2 t n + 1 2 n ∫ b 2 - b 2 sin 2 t n ⋅ bcos t d t = - x 2 n b 2 - x 2 n + 1 2 n ∫ b 2 - x 2 n d x Considerando novamente x = b sin t , tal que d x = b cos t d t . Passo 3Resumindo os resultados, temos: ∫ b 2 - x 2 n d x = b 2 ∫ b 2 - x 2 n - 1 d x - - x 2 n b 2 - x 2 n + 1 2 n ∫ b 2 - x 2 n d x ⇒ 1 + 1 2 n ∫ b 2 - x 2 n d x = x 2 n b 2 - x 2 n + b 2 ∫ b 2 - x 2 n - 1 d x ⇒ ∫ b 2 - x 2 n d x = 2 n 2 n + 1 x 2 n b 2 - x 2 n + 2 n 2 n + 1 b 2 ∫ b 2 - x 2 n - 1 d x ⇒ ∫ b 2 - x 2 n d x = x 2 n + 1 b 2 - x 2 n + n n + 1 / 2 b 2 ∫ b 2 - x 2 n - 1 d x Como queríamos demonstrar. RespostaEi, a resposta está no passo a passo :)MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios Resolvidos de Substituição TrigonométricaVer TeoriaExercício 113123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100Carregar mais exercícios (100) Exercícios de Livros RelacionadosEncontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x = 1 da região sob a curva y = raiz(1 - x^2) , 0 ≤ x ≤ 1 .Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin θCalcule a integral indefinida:int (x^2)/(sqrt(2 - x^2)) d xCalcule a integral indefinida:int (5 x + 4)/(x^3 sqrt(x^2 + 1)) d xCalcule a integralint (1)/(x^2 sqrt(4 x^2 - 1)) d xVer TambémVer tudo sobre CálculoVer tudo sobre IntegraisLista de exercícios de Substituição Trigonométrica