UFPE – Cálculo 1 – Lista 7 – Professor Matheus Nunes
5. Substituição Inversa
a)
Passo 1
Falaaa... beleza??
Nessa questão vamos calcular a integral
Como não é uma integral que conseguimos resolver diretamente, precisaremos de alguém método.
Um bizu maneiro é que quando tiver, dentro da integral, , ou (sendo um número e a variável), usamos substituição inversa, também conhecida como substituição trigonométrica.
Quando , usamos .
Quando , usamos
Quando , usamos ou .
Bora pra questão.
Passo 2
Como temos, vamos usar substituição trigonométrica:
E para o intervalo de integração:
A integral fica:
Passo 3
Podemos escrever essa integral como:
A primeira integral resolvemos direito, né?
Passo 4
Já a segunda integral resolvemos com substituição simples. Repara que a derivada dos termos que está ao quadrado (cosseno) é beeeem parecida com o que está ao lado (seno), então:
Para o intervalo de integração, temos:
E a integral fica:
Resolvendo:
Agora só falta somar os dois resultados: