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Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

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Enunciado

UFPE – Cálculo 1 – Lista 7 – Professor Matheus Nunes

5. Substituição Inversa

c) Determine a função F : R → R tal que

F ' x = 1 - x 2 1 + x 2 : F 1 = π 2

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos achar a função F que tem como derivada: F ' x = 1 - x 2 1 + x 2 e condição F 1 = π 2 .

Pra isso primeiro integramos a derivada pra achar F x e depois usamos a condição dada para calcular a constante.

Como não é uma integral que conseguimos resolver diretamente, precisaremos de alguém método.

Um bizu maneiro é que quando tiver, dentro da integral, x 2 + a 2 , x 2 - a 2 ou a 2 - x 2 (sendo a um número e x a variável), usamos substituição inversa, também conhecida como substituição trigonométrica.

Quando x 2 + a 2 , usamos x = a tan ⁡ θ .

Quando x 2 - a 2 , usamos x = a sec ⁡ θ .

Quando   a 2 - x 2 , usamos x = a sen ⁡ θ   ou x = a cos ⁡ θ .

Bora pra questão.

Passo 2

Temos que calcular a integral:

∫ 1 - x 2 1 + x 2 d x

Usando substituição trigonométrica:

x = tan ⁡ θ

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

A integral fica:

∫ 1 - x 2 1 + x 2 d x = ∫ 1 - tan ⁡ θ 2 1 + tan ⁡ θ 2 ( sec 2 ⁡ θ d θ )

= ∫ 1 - tan 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Como tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1 , então:

= ∫ 1 - sec 2 ⁡ θ - 1 d θ

= ∫ 2 - sec 2 ⁡ θ d θ

= 2 θ - tan ⁡ θ

Voltando pra x :

x = tan ⁡ θ → θ = atan ⁡ x

Então:

= 2 atan ⁡ x - tan ⁡ atan ⁡ x

= 2 atan ⁡ x - x

Como é uma integral indefinida, adicionamos a constante:

F x = 2 atan ⁡ x - x + C

Pra achar a constante usamos F 1 = π 2

F 1 = 2 atan ⁡ 1 - 1 + C

π 2 = 2 atan ⁡ 1 - 1 + C

C = 1

Então:

F x = 2 atan ⁡ x - x + 1

Resposta

F x = 2 atan ⁡ x - x + 1

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