Um aro uniforme de raio r   =   0,2   m e massa M   = 1,0   k g está preso a um fio de massa desprezível e está girando em uma superfície horizontal. Na figura abaixo, a trajetória do centro de massa do aro está indicada pela circunferência tracejada. A trajetória tem raio R 1   = 1,0   m e a velocidade angular do aro é ω 1   =   2   r a d / s . Suponha inicialmente que não há atrito entre o aro e a superfície.

a ) Escreva o módulo do momento angular L 1 do aro em relação ao centro da trajetória.

b ) Um dispositivo oculto no centro da trajetória diminui o raio para R 2 =   80   c m . Neste novo raio, qual é o novo valor da velocidade angular ω 2 ? Justifique claramente o conceito

físico utilizado.

c ) Encontre o trabalho realizado pelo dispositivo oculto da letra b.

d ) Suponha agora que há atrito entre o aro e a superfície. Se no instante t   =   0 o aro está girando na circunferência de raio R 1 (original) e com velocidade angular ω 3   =   4   r a d / s , e que o coeficiente de atrito estático é 0,4   e o de atrito cinético é 0,3 , calcule o intervalo de tempo que o aro demora em parar totalmente.

Passo 1

a )

Para calcular o módulo do momento angular, precisamos da seguinte definição, L = I .   ω

Vamos primeiro achar o momento de inércia do sistema, para isso lembre-se o teorema dos eixos paralelos! Vamos lá!

I = I c m + M . h 2

I = M . r 2 + M . R 1 2

Agora podemos achar o módulo do momento angular:

L = M . r 2 + R 1 2 . ω 1

Substituindo os valores:

L = ( 1,0 . 0,2 2 + 1,0 2 . 2

L = 2,08   k g .   m 2 / s

Passo 2

b )

Para determinar a nova velocidade angular, deveremos usar a lei da conservação do momento angular! Nesse caso, o momento angular se conserva, pois o torque resultante externo é zero. No sistema só atuam a força peso e a normal, cujos torques se anulam! Agora sim, vamos usar a lei!

L → a n t e s = L → d e p o i s

I 1 . ω 1 = I 2 . ω 2

2,08 = M . r 2 + R 2 2 . ω 2

Substituindo os valores, temos:

2,08 = 1,0 . 0,2 2 + 0,8 2 . ω 2

ω 2 = 3,06   r a d / s

Passo 3

c )

Pelo teorema do trabalho e energia cinética, temos:

W T O T = Δ E c

Para o nosso sistema, só temos energia de rotação:

W T O T = I 2 . ω 2 2 2 - I 1 . ω 1 2 2

W T O T = M . r 2 + R 2 2 . ω 2 2 2 - M . r 2 + R 1 2 . ω 1 2 2

Substituindo os valores, temos:

W T O T = 1,0 . 0,2 2 + 0,8 2 . 3,06 2 2 - 1,0 . 0,2 2 + 1,0 2 . 2 2 2

W T O T = 3,18 - 2,08

W T O T = 1,1   J

Passo 4

d )

Sabendo que a segunda lei de newton para a rotaçãoo nos diz que a taxa de variação do momento angular do sitema é igual a soma vetorial dos torques resultantes, temos:

τ → = Δ L → Δ t

Como os torques a força peso e da normal se anulam, teremos somente o torque exercido pela força de atrito cinético!

- R 1 . μ c . M . g = L d e p o i s - L a n t e s Δ t

Como no fim o sistema para, teremos o momento angular depois igual a zero:

- R 1 . μ c . M . g = - I . ω 3 Δ t

- R 1 . μ c . M . g = - M . ( r 2 + R 1 2 ) . ω 3 Δ t

Isolando a variação de tempo e substituindo os valores, temos:

- 1,0 .   0,3 .   1,0 .   10 = - 1,0 . ( 0,2 2 + 1,0 2 ) . 4 Δ t

Δ t = 1,38   s

Resposta

a )   L = 2,08   k g .   m 2 / s

b )   ω 2 = 3,06   r a d / s

c )   W T O T = 1,1   J

d )   Δ t = 1,38   s

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