Um pequeno bloco de massa m = 0,1   k g parte do repouso e desliza para baixo numa superfície curva sem atrito a partir de uma altura h   =   0,80   m e depois adere a uma barra homogênea de massa M = 1,2   k g e comprimento L = 0,40   m . A barra, inicialmente em repouso na vertical, então gira sem atrito em torno do eixo fixo O de um ângulo θ antes de parar momentaneamente.

(A) Determine a velocidade v do bloco após descer a superfície curva.

(B) Calcule o módulo do momento angular l da massa em relação ao ponto O , imediatamente antes do choque com a barra.

(C) Calcule o momento de inércia do conjunto barra + bloco em relação ao ponto O .

(D) Calcule a velocidade angular ω do conjunto barra + bloco imediatamente depois do choque.

Dado: o momento de inércia de uma barra delgada de comprimento L e massa M girando sobre um eixo perpendicular à barra, passando por seu centro de massa é   I c m = M L 2 12 .

Passo 1

(A)

Bom, a superfície não tem atrito, ou seja, não temos forças dissipativas roubando energia do nosso sistema. Assim, a energia mecânica se conserva!

Conservando a energia entre os pontos 1 e 2:

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

0 + m g   0,8 = m v 2 2 + 0

0,1 ⋅ 10 ⋅ 0,8 = 0,1 v 2 2

v 2 = 16

v = 4   m / s

Beleza? Vamos pra próxima então.

Passo 2

(B)

Olha, o bloco adere a barra e depois eles giram, certo? Bom se tem alguma coisa girando, então tem um momento angular ali.

Como ele quer o módulo do momento angular antes da colisão:

l → = l = r p = r m v

Onde esse r   é a distância entre o bloco e o eixo O .

No nosso caso, esse r   vale L = 0,40   m , que é o comprimento da barra.

E essa velocidade ai? Ele não fala no enunciado.

Mas a gente acabou de descobrir na letra (A), e vale v = 4   m / s .

Então substituindo os valores:

l = L m v

l = 0,40 ⋅ 0,1 ⋅ 4

l = 0,16   k g m 2 s

Só sucesso?

Passo 3

(C)

O momento de inércia pode ser calculado de duas formas diferentes. Uma é quando é para objetos “pontuais”, ou seja, considerados como partículas. Aí a fórmula é:

I = m p a r t í c u l a ⋅ r 2

E o r   é a distância entre a partícula e o eixo de rotação.

A outra forma é quando o corpo é extenso, ou seja, quando a massa não tá concentrada em um pontinho só. Mas é tranquilo, porque, nesse caso, o momento de inércia é dado no exercício. Mas toma cuidado! Geralmente o valor dado é em relação a um eixo que passa pelo centro de massa do corpo. Se você tiver um eixo que não está passando pelo CM, aí tem que usar o teorema dos eixos paralelos!

Mas relaxa aí! Vamos por partes, que vai ficar mais simples!

A gente quer o momento de inércia do conjunto bloco+barra.

I b l o c o + b a r r a = I b l o c o + I b a r r a

Vamos fazer um de cada vez:

Passo 4

Para o I b l o c o :

A massa tá concentrada em um ponto, nota que o enunciado não fornece as dimensões do bloquinho.

Então estamos falando do primeiro caso do passo 3:

I b l o c o = m L 2

A distância que o bloco está do eixo vale L .

Show! Metade já foi. Vamos por I b a r r a .

Passo 5

Agora, temos uma barra com comprimento L .

Eita...A massa está distribuída por esse corpo, então estamos falando da segunda situação do passo 3. Acompanha comigo:

O enunciado nos dá isso aqui:

I c m = M L 2 12

Mas olha pra cá agora:

O eixo de rotação está passando pelo CM da barra??Não!

Então temos que ajeitar isso! Aí a gente vai usar o teorema dos eixos paralelos, que diz o seguinte, pra gente achar o I n o v o de um eixo diferente do eixo que passa pela centro de massa, temos que somar o I c m com M d 2 , onde M   é a massa do corpo, e d   é a distância entre o CM e o novo eixo. Então é isso aqui ó:

I n o v o = I c m + M d 2

No nosso caso, o d é isso ali que eu destaquei na figura e vale L 2 .

Maravilha!!

Então o I b a r r a = I c m + M L 2 2 = M L 2 12 + M L 2 2 = M L 2 3

Passo 6

Vamos substituir isso tudo para achar o I b l o c o + b a r r a :

I b l o c o + b a r r a = I b l o c o + I b a r r a

I b l o c o + b a r r a = m L 2 + M L 2 3

I b l o c o + b a r r a = 0,1 ⋅ 0,4 2 + 1,2 ⋅ 0,4 2 3

I b l o c o + b a r r a = 0,08   k g   m 2

Suave??? Bora para o último!

Passo 7

(D)

Agora ele tá pedindo pra gente calcular a velocidade angular depois que o bloquinho grudou na barra.

Bem, eles vão girar, então vai ter um momento angular. Como não temos torques externos ao nosso sistema, o momento angular é conservado!

L i = L f

O L i a gente calculou lá na letra B, porque na ituação inicial o bloquinho tá na iminência de grudar na barra.

Então:

L i = l = 0,16   k g   m 2 / s

E o nosso L f é quando o bloco gruda na barra:

L f = I b l o c o + b a r r a ω

Da letra C:

L f = 0,08   ω

Então:

L i = L f

0,16   = 0,08   ω

ω = 2   r a d / s

Passo 8

Resposta

a) v = 4   m / s

b) l = 0,16   k g m 2 s

c) I b l o c o + b a r r a = 0,08   k g   m 2

d) ω = 2   r a d / s

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