Um ponto material P , com massa m , esta amarrado com uma corda inextensível a uma haste vertical fina, posicionada no ponto O. A haste gira e produz uma trajetória circular do ponto P , com raio inicial r 1 , velocidade inicial v → 1 e velocidade angular ω → 1 . Após algum tempo, a corda foi envolta em torno da haste e o raio da própria trajetória é reduzido para um valor final r 2 . Podemos afirmar, em relacao às magnitudes da velocidade final ( v 2 ) e da velocidade angular final ( ω 2 ) de P , que:

(a) v 2 > v 1 e ω 2 < ω 1

(b) a) e c) sao corretas

(c) Nenhuma é correta

(d) v 2 < v 1 , ω 2 < ω 1

(e) v 2 > v 1 e ω 2 > ω 1

Passo 1

Nosso objetivo é comparar a velocidade v e velocidade angular ω da partícula no momento inicial e final.

A única força que atua sobre a partícula é uma força de tração T → na corda:

Como essa força aponta para o eixo de rotação (haste), ela não gera torque.

Se não há nenhum torque atuando sobre o sistema, o mmomento angular se conserva:

L 0 = L

Podemos usar essa conservação para tirar as duas relações que precisamos.

Passo 2

O momento angular é dado pelo produto vetorial entre:

L → = r → × p →

Como momento linear é dado por m v → :

L → = m r → × v →

O movimento da partícula é aproximadamente circular, então esses dois vetores vão sempre ser perpendiculares:

Ou seja o ângulo entre eles é de 90 ° ...

O módulo daquele produto vetoria será:

L = m r v   s e n 90 °

L = m r v

Passo 3

Voltando para a conservação do momento angular, temos:

L 0 = L

m r 1 v 1 = m r 2 v 2

r 1 v 1 = r 2 v 2

Ou seja, se o raio diminuiu de r 1 para r 2 , a velocidade deve aumentar de v 1 para v 2 afim de mante o produto dos dois constante.

Podemos observar assim também:

v 2 = r 1 r 2 v 1

Como r 1 é maior que r 2 , temos que o termo:

r 1 r 2 > 1

Ou seja, a velocidade v 2 será maior que v 1 :

v 2 > v 1

Passo 4

Mas e as velocidades angulares?

Bom, lembra que podemos relacionar a velocidade v com a velocidade angular ω a partir de:

v = ω r

Aplicando essa relação na conservação de momento angular, temos:

m r 1 v 1 = m r 2 v 2

m r 1 ω 1 r 1 = m r 2 ω 2 r 2

ω 1 r 1 2 = ω 2 r 2 2

ω 2 = r 1 r 2 2 ω 1

Novamente, como r 1 é maior que r 2 , temos que o termo:

r 1 r 2 > 1

Ou seja, a velocidade ω 2 será maior que ω 1 :

ω 2 > ω 1

Então, achamos que:

v 2 > v 1 ω 2 > ω 1

Ficamos com a letra (e).

Resposta

Letra (e)

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