Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 14 – Seção 2 – Exercício 38
(Capítulo 14.2 – Exercício 38)
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
Passo 1
Faaaala galera!
Ó se liga nesse exercício: temos uma função definida em partes (daquelas que são definidas de formas diferentes dependendo dos valores de e ), e aí queremos saber quando essa função é contínua, certo? Pra ser mais certeiro, queremos saber O MAIOR INTERVALO onde ela é contínua
Pra fazer isso, vamos:
A - Encontrar o intervalo de continuidade quando
B - Verificar se função como um todo é contínua (incluindo o ponto )
C - Se a função como um todo for contínua, o maior intervalo é todo o . Caso contrário, é o intervalo encontrado no passo A
Show? Então vamos lá!
Passo 2
A função dada pelo enunciado é:
Inicialmente, para o passo A, vamos verificar se a função é contínua no intervalo em que :
Por ser uma função racional, ela é contínua desde que o denominador seja diferente de zero. Assim,
Isso só acontece quando . Porém, esse ponto não faz parte do domínio. Assim é contínua no intervalo onde ela está definida:
Passo 3
Agora vamos para o passo B: temos que verificar se a função tem uma descontinuidade no ponto Para isso, devemos descobrir qual é o limite quando a função se aproxima de .
Se o limite existir e for igual a 0 (que é o valor da função nesse ponto), a função é contínua.
Vamos aproximar a função pela reta :
Vamos aproximar a função pela reta :
Vamos aproximar a função pela reta :
Opa! Como tem limites diferentes ao longo de duas diferentes linhas, o limite não existe!
Passo 4
Assim, vemos que possui uma descontinuidade no ponto . Portanto, o maior conjunto no qual a função é contínua será todos os pontos, exceto o , fechou?
Resposta
.