Determine o conjunto de pontos de R^2 onde f não é diferenciável, sendo

a . f(x, y) = raiz((x^3 + y^3), 3)

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa função aqui

f x , y = x 3 + y 3 3

E pediu para acharmos o conjunto de pontos em que ela não é diferenciável

Então precisamos relembrar quais os critérios que deixam uma função diferenciável em todo R 2

  1. Ela precisa ser contínua sempre em todos os pontos no R 2
  2. Ela precisa ter derivadas parciais em todo R 2
  3. Essas derivadas parciais precisam ser contínuas em todo R 2

Então precisamos analisar cada um dos itens!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar verificando a continuidade dessa função

f x , y = x 3 + y 3 3

Como é uma raiz cúbica, ela pode assumir tanto valores positivos, quanto negativos. Além do zero. Então até aqui tudo bem.

Beleza?

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada! Começando pela parcial em x

  f x , y = x 3 + y 3 3

∂ f ∂ x = 1 3 x 3 + y 3 2 . ( 3 x 2 )

Essa derivada só não é contínua quando o denominador for zero, ou seja

- x 3 = y 3 → y = - x

Então ao longo dessa reta, a f não é diferenciável!

Passo 4

Derivando em relação à y vamos achar algo semelhante

∂ f ∂ y = 1 3 x 3 + y 3 2 . ( 3 y 2 )

E fazendo o denominador ser zero

y 3 = - x 3

y = - x

Então realmente, ao longo dessa reta a função não é diferenciável!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

y = - x

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.F(x, y) = (1 + x^2 + y^2) / (1 - x^2 - y^2)
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.30 – F(x, y) = (x - y) / (1 + x^2 + y^2)
Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o que você observou.f(x, y) = e^(1 / (x - y))
Seja A um subconjunto so R^2 que goza da propriedade :quaisquer que sejam (x₀, y₀) e (x₁, y₁) em A, existe uma curva contínua γ: [a, b] → A , tal que γ(a) = (x₀, y₀) e γ(b) = (x₁, y₁) . Prove que se f
Determine h (x , y) = g (f (x , y)) e o conjunto na qual h é contínua.g (t) = t^2 + sqrt(t) , f (x , y) = 2 x + 3 y - 6