Limites e Continuidade
Determine para a função abaixo, caso exista, para que a função seja contínua em .
Passo 1
Perguntar se o existe, é o mesmo que perguntar se o limite quando a tende a existe! Caso ela seja bem definido, então teremos um que atende ao pedido.
Vamos lá, como fazemos então pra resolver o limite abaixo?
Bom, recomendo sempre separar em limites menores, quando possível. Então, podemos dizer que:
Passo 2
Tranquilo, agora temos menos coisa pra nos preocuparmos, porque, colocando no limite o valor para o qual está tendendo, temos que:
Assim, nosso limite da função toda fica:
Em resumo, tínhamos dois limites, um multiplicado pelo outro, e agora sabemos que um deles vale . Como temos a parte do seno indo para se a outra parte for limitada podemos aplicar o teorema do sanduiche e matar esse limite, vamos dar uma olhada naquele cara.
Como temos um monte de gente elevado a caras pares isso tudo é maior que .
Então
Agora vamos ver se achamos um limite superior para esse cara. Normalmente temos e em cima e embaixo com o mesmo grau, mas aqui se você olhar bem os de baixo são o dobro do de cima, isso nos diz que podemos usar um macete de produto notável que sempre vai roalr quando temos uma situação igual a essa, que vai ser pensar assim
Certo?
Então
Então
Isso nos diz que
Vamos ao limite agora que vimos que esse cara é limitado
Passo 3
Vamos agora multiplicar por
Então
E esse limite que queríamos vai ser .
Por fim, teremos: