Determine o valor da constante de modo que a função real
Seja contínua na origem.
Passo 1
Para a função ser contínua na origem, é preciso que o limite quando ela tenda a origem exista e seja bem definido. Esse limite é exatamente o que precisamos encontrar!
Então, o nosso problema é resolver:
E ver se ele existe!
Passo 2
Para resolver esse limite, repare que temos o termo no numerador e no denominador.
Isso é um bom indício de que podemos usar mudança de variável. Mas, nesse caso, não uma mudança de variável qualquer!
Podemos usar coordenadas polares. Assim:
E quando temos
Passo 3
Então, substituindo tudo isso, nosso limite fica:
Agora, se tentarmos resolver esse limite por simples substituição, vemos que chegamos a uma indeterminação do tipo .
E agora, como vamos sair dela?
Passo 4
Repare que agora temos uma função de uma única variável . Dessa forma, para alegria de todos e felicidade geral da nação, podemos pedir ajuda para o nosso querido L’Hospital.
Aplicando L’Hospital, então, ficamos com:
Opa, mas aqui ainda ficamos com uma indeterminação . Isso significa que temos que aplicar L’Hospital outra vez. Assim:
E agora sim, podemos resolver esse limite por simples substituição:
Dessa forma, para ser contínua na origem, deve ser igual a 2.