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Exercícios Resolvidos de Continuidade

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 2, Atividades Profº Plínio Santini - Atividade 1, Questão 2.

Questão 2 Considere a função f ( x ,   y )   =   x   ϕ x 2 - y 2 , em que ϕ : R → R é uma função diferenciável de uma variável real. Para qualquer a ∈ R , mostre que o plano tangente ao gráfico de f no ponto a ,   a ,   f a , a contém a origem.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos provar que o plano tangente a f no ponto a ,   a ,   f a , a contém a origem.

Se f ( x ,   y )   =   x   ϕ x 2 - y 2 e ϕ : R → R como vamos resolver esse problema? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é obter o plano tangente a f . Pra isso temos que lembrar que o plano tangente a uma função é obtido a partir do produto escalar entre o gradiente de f com um vetor contido em f .

A partir dessa definição podemos obter o plano e substituir o ponto a ,   a ,   f a , a .

Veja só! 👀

Passo 2

Se z = f x , y , então

z = f ( x ,   y )   =   x   ϕ x 2 - y 2

f x ,   y , z =   x   ϕ x 2 - y 2 - z

Calculando o gradiente de f

∇ f x ,   y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f x ,   y , z = ∂ x ϕ x 2 - y 2 - z ∂ x , ∂ x ϕ x 2 - y 2 - z ∂ y , ∂ x   ϕ x 2 - y 2 - z ∂ z

Aplicando a regra do produto para ∂ x , temos

∂ x   ϕ x 2 - y 2 - z ∂ x = ∂ x   ∂ x · ϕ x 2 - y 2 + x · ∂ ϕ x 2 - y 2 ∂ x

Agora pela regra da cadeia na derivada de ϕ x 2 - y 2 ...

∂ x   ϕ x 2 - y 2 - z ∂ x = ∂ x   ∂ x · ϕ x 2 - y 2 + x · ∂ x 2 - y 2 ∂ x ∂ ϕ x 2 - y 2 ∂ ϕ

∂ x   ϕ x 2 - y 2 - z ∂ x = 1 · ϕ x 2 - y 2 + x · 2 x · ϕ ' x 2 - y 2

∂ x   ϕ x 2 - y 2 - z ∂ x = ϕ x 2 - y 2 + 2 x 2 ϕ ' x 2 - y 2

Agora vamos fazer o mesmo para y apenas usando a regra da cadeia

∂ x ϕ x 2 - y 2 - z ∂ y = ∂ x 2 - y 2 ∂ y ∂ ϕ x 2 - y 2 ∂ ϕ

∂ x ϕ x 2 - y 2 - z ∂ y = - 2 x y ϕ ' x 2 - y 2

Por fim, derivando em z , temos

∂ x   ϕ x 2 - y 2 - z ∂ z = - 1

Substituindo em ∇ f x ,   y , z

∇ f x ,   y , z = ϕ x 2 - y 2 + 2 x 2 ϕ ' x 2 - y 2 , - 2 x y ϕ ' x 2 - y 2 , - 1

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

O próximo passo é aplicar o ponto a ,   a ,   f a , a no gradiente

∇ f a ,   a ,   f a , a = ϕ a 2 - a 2 + 2 a 2 ϕ ' a 2 - a 2 , - 2 a a ϕ ' a 2 - a 2 , - 1

∇ f a ,   a ,   f a , a = ϕ 0 + 2 a 2 ϕ ' 0 , - 2 a 2 ϕ ' 0 , - 1

Ainda temos que construir um vetor que pertence ao plano, esse vetor pode ser obtido como

v x , y , z = x - x 0 , y - y 0 , z - z 0

Aplicando o ponto a ,   a ,   f a , a nesse vetor, temos

v a ,   a ,   f a , a = x - a , y - a , z - f a , a

v a ,   a ,   f a , a = x - a , y - a , z -   a ϕ a 2 - a 2

v a ,   a ,   f a , a = x - a , y - a , z -   a ϕ 0

Calculando o produto interno entre ∇ f a ,   a ,   f a , a e v a ,   a ,   f a , a , vamos obter que

∇ f a ,   a ,   f a , a · v a ,   a ,   f a , a = 0

ϕ 0 + 2 a 2 ϕ ' 0 , - 2 a 2 ϕ ' 0 , - 1 · x - a , y - a , z -   a ϕ 0 = 0

ϕ 0 + 2 a 2 ϕ ' 0 x - a + - 2 a 2 ϕ ' 0 y - a - 1 z - a ϕ 0 = 0

E por fim, como queremos saber se esse plano tangente passa pela origem, vamos substituir x , y , z por 0,0 , 0 e verificar se a igualdade é satisfeita.

ϕ 0 + 2 a 2 ϕ ' 0 0 - a + - 2 a 2 ϕ ' 0 0 - a - 1 0 - a ϕ 0 = 0

ϕ 0 + 2 a 2 ϕ ' 0 - a + - 2 a 2 ϕ ' 0 - a - 1 - a ϕ 0 = 0

- a ϕ 0 - 2 a 3 ϕ ' 0 + 2 a 3 ϕ ' 0 + a ϕ 0 = 0

0 = 0

Assim, provamos que a origem está contida no plano tangente de f !

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

A origem está contida no plano tangente de f

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