Se

f x , y = x 2 y x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 x , y = ( 0,0 )

Determine a derivada direcional D u f ( 0,0 ) , se u = 2 2 , 2 2

Passo 1

Bem, essa função está definida por partes... isso é um bom indicio de que para calcular a derivada direcional, temos que usar a definição. E, de fato, temos, pois essa função não é diferenciável na origem. Assim, calculando a derivada direcional pela definição,

∂ f ∂ u P 0 = lim t → 0 ⁡ f P 0 + t u - f P 0 t u

Temos

u = 2 2 , 2 2

u = 2 2 2 + 2 2 2 = 1

Passo 2

O limite vai ficar

∂ f ∂ u 0,0 = lim t → 0 ⁡ f 0,0 + t 2 2 , 2 2 - f 0,0 t . 1 = lim t → 0 ⁡ f t 2 2 , t 2 2 - 0 t = l i m t → 0 t 2 2 2 . t 2 2 t 2 2 2 + t 2 2 2 t

lim t → 0 ⁡ t 2 . 2 4 . t 2 2 t 2 . t = lim t → 0 ⁡ t 2 4 t = 2 4

Resposta

D u f 0,0 = 2 4

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