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Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

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Enunciado

UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, P2 - Profº Leonardo - 2018.2, Questão 2a

(2) Considere f x , y = ( x 2 - x ) y + y 2 2 - 1 2 , definida em todo R 2 . Responda:

a) Calcule a derivada direcional de f em x , y = 0,1 na direção e sentido do vetor v → = 3 , - 4 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos obter a derivada direcional da função f x , y = ( x 2 - x ) y + y 2 2 - 1 2 no ponto 0,1 e na direção do vetor v → = 3 , - 4 .

Parece complicado? Veja só! 😬

Para calcular a derivada direcional de uma função, fazemos o produto interno do vetor gradiente de f com o vetor direcional unitário.

O vetor gradiente é composto pelas derivadas parciais de f e o vetor direcional é dado pelo vetor v → dividido pelo seu módulo.

D v f = ∇ f a , b · v → v →

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Primeiro vamos obter o vetor gradiente de f ... pra isso temos que calcular as derivadas parciais de f , ou seja

∂ f ∂ x = ∂ x 2 - x y + y 2 2 - 1 2   ∂ x = 2 x y - y

∂ f ∂ y = ∂ x 2 - x y + y 2 2 - 1 2   ∂ y = x 2 - x + y

Assim, obtemos o vetor gradiente como

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = 2 x y - y , x 2 - x + y

Aplicando o ponto 0,1

∇ f 0,1 = 2 0 1 - 1 , 0 2 - 0 + 1

�� f 0,1 = - 1,1

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Calculando o modulo de v → , vamos obter

v → = 3 2 + - 4 2 = 5

Substituindo essas informações na fórmula da derivada direcional do passo 1, temos

D v f 0,1 = - 1,1 · 3 , - 4 5

D v f 0,1 = - 1 · 3 5 + 1 · - 4 5

D v f 0,1 = - 7 5

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

D v f 0,1 = - 7 5

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