1.1. Calcule, quando existirem, os limites abaixo:

t) lim x → + ∞ ⁡ x x + 1

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que obter o limite da função f x = x x + 1 para x tendendo a + ∞ .

Tem ideia de como fazemos isso? 🤔

O cálculo de limite nada mais é o valor que a função f x tende para quando tendemos a um determinado valor a .

Nesse caso, não podemos simplesmente substituir x por e encontrar f ∞ pois se fizermos isso, vamos cair em uma indeterminação ∞ / ∞ .

Então vamos tentar manipular a função para encontrar algo para nos ajudar.

Bora lá! 😁

Passo 2

A função é dada por

f x = x x + 1

Vamos multiplicar o numerador e o denominador por x + 1 para nos livrarmos da raiz no denominador

f x = x x + 1 · x + 1 x + 1

f x = x x + 1 x + 1 2

f x = x x + 1 x + 1

Agora dividimos o numerador e o denominador por x ...

f x = x x + 1 x x x + 1 x

f x = x + 1 1 + 1 x

Agora, se aplicarmos o limite, vamos obter que

lim x → + ∞ ⁡ x x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x + 1 1 + 1 x = ∞ + 1 1 + 1 ∞

Perceba que o termo ∞ + 1 vai a e o termo 1 ∞ vai a 0 , ou seja

lim x → + ∞ ⁡ x x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x + 1 1 + 1 x = ∞ 1 + 0

lim x → + ∞ ⁡ x x + 1 = ∞

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x x + 1 = ∞

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