UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - 2021.2 - UFRJ - Lista 1 - Continuidade e TVI, Questão 2.5
Calcule os limites abaixo
Passo 1
Falaii galerinhaaa
Vamos calcular o limite dado:
Para calcular este limite, vamos analisar os termos de maior grau nos numeradores e denominador, pois esses termos dominarão a expressão à medida que x tende ao infinito positivo.
Termos de maior grau no numerador e denominador:
Passo 2
Quando x tende ao infinito positivo, tanto o termo x no numerador quanto o termo √(x) no denominador tendem ao infinito.
Isso significa que podemos simplificar a expressão dividindo ambos os termos pelo termo de maior grau, que é
Agora, quando x tende ao infinito positivo, se torna dominante e podemos simplificar ainda mais a expressão:
Passo 3
Nesse ponto, temos uma forma indeterminada .
Essa forma pode ser resolvida usando técnicas de manipulação algébrica. Vamos racionalizar a expressão multiplicando o numerador e o denominador por :
Agora, essa forma é uma indeterminação do tipo
Podemos aplicar o conceito de L'Hôpital, que diz que se o limite de uma função é uma indeterminação do tipo ou , então o limite de é igual ao limite da derivada de dividida pela derivada de, desde que esses limites existam e sejam finitos.
Passo 4
Derivando o numerador e o denominador:
Agora, aplicando L'Hôpital:
Portanto, o limite da expressão quando x se aproxima do infinito positivo é
Resposta
Portanto, o limite da expressão quando x se aproxima do infinito positivo é