Calcule os limites abaixo

lim x → + ∞ ⁡ x - 2 2 + x

Passo 1

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Vamos calcular o limite dado:

l i m x → + ∞ x   -   2 2   +   x

Para calcular este limite, vamos analisar os termos de maior grau nos numeradores e denominador, pois esses termos dominarão a expressão à medida que x tende ao infinito positivo.

Termos de maior grau no numerador e denominador:

      N u m e r a d o r :   x

      D e n o m i n a d o r :   √ ( x )

Passo 2

Quando x tende ao infinito positivo, tanto o termo x no numerador quanto o termo √(x) no denominador tendem ao infinito.

Isso significa que podemos simplificar a expressão dividindo ambos os termos pelo termo de maior grau, que é √ ( x ) :

l i m x → + ∞ x   -   2 2   +   x

                  = x x - 2 x 2 x + 1 x

                  = x - 2 x 2 x + 1 x

Agora, quando x tende ao infinito positivo,   √ x se torna dominante e podemos simplificar ainda mais a expressão:

l i m x → + ∞ x - 2 x 2 x + 1 x

                  = x - 2 x 0 +

                  = x 0

Passo 3

Nesse ponto, temos uma forma indeterminada ( ∞   /   0 ) .

Essa forma pode ser resolvida usando técnicas de manipulação algébrica. Vamos racionalizar a expressão multiplicando o numerador e o denominador por √ x :

l i m x → + ∞   x 0

                  =   l i m x → + ∞   x * x 0 *   x

                  =   l i m x → + ∞ x 0

Agora, essa forma é uma indeterminação do tipo ( ∞   /   0 ) .

Podemos aplicar o conceito de L'Hôpital, que diz que se o limite de uma função f ( x ) / g ( x ) é uma indeterminação do tipo ( ∞   /   0 ) ou ( 0   /   0 ) , então o limite de f ( x ) / g ( x )   é igual ao limite da derivada de f ( x ) dividida pela derivada de   g ( x ) , desde que esses limites existam e sejam finitos.

Passo 4

Derivando o numerador e o denominador:

f ( x )   =   x

g ( x )   =   0

f ' ( x )   =   1

g ' ( x )   =   0

Agora, aplicando L'Hôpital:

l i m x → + ∞ x 0   l i m x → + ∞ 1 0   =   ∞ .

Portanto, o limite da expressão quando x se aproxima do infinito positivo é ∞ .

Resposta

Portanto, o limite da expressão quando x se aproxima do infinito positivo é ∞ .

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