6. Calcule os seguintes limites:

m) lim x → ∞ ⁡ x - ln ⁡ x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, queremos obter o limite da função f x = x - ln ⁡ x para quando x tende a .

Como vamos fazer isso? 🤔

O limite de uma função descreve o comportamento de uma função à medida que a variável x se aproxima de um determinado valor.

Nesse caso, queremos descobrir o limite

lim x → ∞ ⁡ x - ln ⁡ x

Manipulando a função, temos que

f x = x - ln ⁡ x = x 1 - ln ⁡ x x

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 2

Se aplicarmos o método de substituição agora, vamos cair em uma indeterminação ∞ / ∞ no termo ln ⁡ x x , então temos que usar algum método matemático para obter esse limite.

No caso de resultar uma indeterminação, a melhor maneira de se calcular o limite é aplicando a regra de L ' H o p i t a l !

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador do limite até encontrar um resultado.

lim x → ∞ ⁡ x - ln ⁡ x = lim x → ∞ ⁡ x 1 - ln ⁡ x x = lim x → ∞ ⁡ x · lim x → ∞ ⁡ 1 - ln ⁡ x x

lim x → ∞ ⁡ x - ln ⁡ x = lim x → ∞ ⁡ x · lim x → ∞ ⁡ 1 - lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x

Sabemos que o limite de x para x → ∞ é igual a e o limite de 1 é o próprio 1

lim x → ∞ ⁡ x = ∞

lim x → ∞ ⁡ 1 = 1

Já aplicando L ' H o p i t a l no limite de ln ⁡ x x , temos

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x = lim x → ∞ ⁡ d ln ⁡ x d x d x d x

d ln ⁡ x d x = 1 x

d x d x = 1

Substituindo os resultados no limite...

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x = lim x → ∞ ⁡ 1 x = 1 ∞ = 0

lim x → ∞ ⁡ x - ln ⁡ x = ∞ �� 1 - 0

lim x → ∞ ⁡ x - ln ⁡ x = ∞

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x - ln ⁡ x = ∞

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