USP– Cálculo 1 – Lista 1 – Questão 1.8
Considere a afirmação “Sejam funções tais que e é limitada. Então ”. É correto dizer
- Tal afirmação é verdadeira
- Tal afirmação é verdadeira se supomos que
- Tal afirmação é verdadeira se supomos que exista algum tal que para todo
- Tal afirmação é verdadeira se supomos que exista algum tal que para todo
- Tal afirmação é falsa para toda limitada
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa afirmação aqui
Sejam funções tais que e é limitada
E faz uma afirmação:
Então
E agora, essa afirmação é verdadeira?
Quando temos uma função limitada isso significa que o valor que essa função pode assumir é finito, como por exemplo a função seno! Independentemente do quão grande pode ser o ângulo , o valor de sempre irá estar entre
Sabemos também que o limite do produto é o produto dos limites. Assim temos o seguinte
Se é limitada, então esse limite vai mesmo para infinito, mas a pergunta que não quer calar: para QUAL infinito?
Então a ideia é analisar o sinal desse produto com as afirmativas para ver qual delas se encaixa melhor! Beleza?
Bora lá!
Passo 2
A primeira afirmativa diz que a conclusão é verdadeira
Mas isso não é verdade! Se a função limitada for negativa? Então o resultado será ! Irá para o outro infinito! Então essa está errada.
E isso nos ajuda a ver que a segunda e a última também estão erradas, pois diz que isso só é verdade se . Na verdade isso só é verdade se os dois valores forem positivos
Passo 3
Como a retorna , a afirmação só estará correta plenamente se e somente se , com e pertencente aos reais
E isso está na afirmativa !
A outra fala no módulo, que também esbarra no problema do sinal, temos que a afirmativa é correta apenas se a limitada fornecer um valor positivo e diferente de zero, claro!
E é isso! Até a próxima!