USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 1.7
Decida se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando ou apresentando um contra-exemplo.
a. Se f , g : R → R são funções tais que f é limitada e positiva e , então tem-se que .
b. Se f , g : R → R são funções tais que f é limitada e , então tem-se que .
c. Se f , g : R → R são funções tais que , então .
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos que verificar se as afirmações
a. Se f , g : R → R são funções tais que f é limitada e positiva e , então tem-se que .
b. Se f , g : R → R são funções tais que f é limitada e , então tem-se que .
c. Se f , g : R → R são funções tais que , então .
São verdadeiras ou falsas.
Então vamos lá!
Passo 2
Olhando para a primeira afirmação, temos que:
- Se f , g : R → R são funções tais que f é limitada e positiva e , então tem-se que .
Então, podemos olhar para o seguinte contra-exemplo
,
que é uma função limitada e positiva, note que
e
e a função
note que
e
Assim, temos que
Contrariando a afirmação a, portanto ela é falsa.
Passo 3
Olhando para a segunda afirmação:
b. Se f , g : R → R são funções tais que f é limitada e , então tem-se que .
Temos que se f é limitada
Então sabendo que o limite da soma é a soma dos limites
Então essa afirmação é verdadeira.
Passo 4
Olhando para a terceira afirmação:
c. Se f , g : R → R são funções tais que , então
Temos que se f é
e g é
Então sabendo temos que
Porém,
.
Contrariando a afirmação c, portanto ela é falsa.
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
a. F;
b. V;
c. F.