USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 1.15
Seja um triângulo tal que e . Quando vale ?
Passo 1
E aí galera, tudo certinho com vocês?
Nessa questão o enunciado nos deu um triângulo com as seguintes informações:
Com essas informações, precisamos calcular:
Então pessoal, pra resolver esse limite precisamos relacionar com .
Das informações dadas, temos dois lados do triângulo: e (que no limite, irá tender a infinito).
Qual Teorema ou Lei podemos usar pra relacionar dois lados e o ângulo de um triângulo com um terceiro lado?
É a Lei dos cossenos. Segundo ela:
onde é o ângulo entre os lados e .
Então, vamos buscar usar essa lei para relacionar com , e depois aplicamos o limite.
Vem com a gente!
Passo 2
O ângulo entre os lados e é exatamente .
Daí, aplicando a lei dos cossenos, temos que:
Assim:
Daí, aplicando a raiz, temos:
Excelente!
Vamos então voltar ao nosso limite:
Multiplicando pelo conjugado do termo dentro do limite, ou seja, por:
Temos:
Colocando em evidência no numerador e no denominador:
Voltando para o limite, temos:
Daí, como quando , todos os termos com no denominador vão zerar, temos que:
Portanto:
E é isso aí!!
Valeu pessoal!