Passo 1
Vamos calcular as derivadas de e procurar um padrão.
Deu pra perceber que existe um padrão que depende de onde temos índices pares, e depende de nos índices ímpares. Então, podemos escrever uma expressão para cada caso:
Passo 2
Vamos, agora, montar a Série de Taylor.
Para a série em torno , temos:
Precisamos substituir as expressões que encontramos para a derivada. Repare:
Então, vamos ter na expressão apenas os índices pares. Reescrevendo a série para os índices , temos:
Substituindo a expressão da derivada:
Passo 3
Agora vamos fazer o teste da razão para determinar o raio de convergência. Lembra dele? Temos que aplicar o seguinte limite:
Onde . Vamos aplicar isso no problema:
Então, temos o seguinte limite:
Como , temos:
Resposta
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