UFMG – Cálculo 2 – P2 – Questão 2
Expresse em séries de potências e explicite os 3 primeiros termos não nulos de
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você a resolver! O problema nos deu uma função :
E pediu para expressar essa função em série de potência e explicitar os 3 primeiros termos não nulos dela. Vamos começar pelo começo: o que é uma série de potências?
Série de potências é uma série (a representação é uma expressão de termo geral dentro de um somatório – em função de um inteiro positivo ) que envolve potências de !
Em outras palavras: é um polinômio escrito de forma condensada em um somatório
Esse polinômio tem infinitos termos! Uma parte muito importante são os coeficientes! Quando a série de potências representa uma função , os coeficientes são os ‘pesos’ de cada termo com potência de . Podemos representar qualquer função cabeluda por série de potências de !
E é isso que essa questão pede! Embora essa função pareça simpática, integrar e/ou calcular seu valor pode ser um desafio! E é essa uma das facilidades da representação em séries: poder integrar, derivar, calcular o valor em um ponto de forma muito mais simples =)
Mas o que queremos aqui é apenas a representação! E para algumas funções-chave nós já conhecemos sua representação em série de potência, e a exponencial é uma delas!
A ideia aqui é a seguinte: a partir da série de potências da exponencial, ir, aos poucos, construindo a função em séries de potência.
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Vamos começar?
Passo 2
A função que queremos representar em séries é:
Podemos começar simplificando um pouco essa função: passar aquele denominador para cima, assim teremos uma função em termos de uma exponencial (lembra que sabemos a série da função exponencial)
Tudo bem até aqui?
A série de potências para a exponencial é:
Mas o argumento da nossa exponencial é , então a série que representa vai ser assim
Já separei os termos que estão elevados na para facilitar, mais além você vai entender!
Passo 3
Agora a ideia é ir montando a função! E nossa função tem um multiplicando a exponencial!
Então vamos multiplicar a série que achamos por :
Como temos outra potência de dentro do somatório, podemos juntar os dois, passando para dentro da soma:
E está aí nossa série de potências!
Passo 4
Mas o problema pede os três termos não nulos dela! Então precisamos encontrar os três primeiros termos da série!
Nós encontramos isso variando o , a partir do primeiro termo, depois somando +1
Para achar o segundo e depois +2 para o terceiro.
Nossa série é a seguinte:
Ela começa em 0, então o primeiro termo da série é com
O segundo termo da série é com :
E o terceiro termo é fazendo :
Assim os três primeiros termos da série são:
Beleza?
Então é isso! Espero ter ajudado!
Até a próxima!