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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

Passo 1

Vamos calcular as derivadas de g ( t ) e procurar um padrão para ln ⁡ t .

g ' t = 1 t

g ' ' t = - 1 t 2

g ' ' ' t = 2 t 3

g ' ' ' ' t = - 2   .   3 t 4  

g v t = 2   . 3   . 4   t 5

Deu pra perceber que existe um padrão

g k t = - 1 k + 1 k - 1 ! t k

Passo 2

Vamos, agora, montar a Série de Taylor.

Para a série em torno a = e , temos:

ln ⁡ ( t ) = ∑ k = 0 ∞ g k e ( t - e ) k k !

Precisamos aplicar a = e na expressão da derivada. Repare:

g k e = - 1 k + 1 k - 1 ! t k = - 1 k + 1 k - 1 ! e k

Substituindo a expressão da derivada:

ln ⁡ ( t ) = ∑ k = 0 ∞ - 1 k + 1 k - 1 ! e k t - e k k !

Vamos retirar o termo k = 0  

ln ⁡ ( t ) = 1 + ∑ k = 1 ∞ - 1 k + 1 k - 1 ! e k t - e k k !

ln ⁡ ( t ) = 1 + ∑ k = 1 ∞ - 1 k + 1 k - 1 ! e k t - e k k ( k - 1 ) !

ln ⁡ ( t ) = 1 + ∑ k = 1 ∞ - 1 k + 1 t - e k k e k

Passo 3

Agora, para encontrar a série de

f x = ∫ e x ln ⁡ t d t

Precisamos integrar a série que encontramos no passo anterior

f x = ∫ e x 1 + ∑ k = 1 ∞ - 1 k + 1 t - e k k e k d t

f x = x e x + ∑ k = 1 ∞ - 1 k + 1 k e k t - e k + 1 ( k + 1 ) e x

f x = x - e + ∑ k = 1 ∞ - 1 k + 1 k e k x - e k + 1 ( k + 1 )

Podemos fazer a substituição de k = n + 1

f x = x - e + ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 2 e n + 1 x - e n + 2 ( n + 1 ) ( n + 2 )

f x = x - e + ∑ n = 0 ∞ - 1 n e n + 1 x - e n + 2 ( n + 1 ) ( n + 2 )

Passo 4

Agora vamos fazer o teste da razão para determinar o raio de convergência.Temos que aplicar o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L

Onde R = 1 / L . Vamos aplicar isso no problema

c n = - 1 n e n + 1 ( n + 1 ) ( n + 2 )

c n + 1 = - 1 n + 1 e n + 2 ( n + 2 ) ( n + 3 )

Então, temos o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 e n + 2 ( n + 2 ) ( n + 3 ) e n + 1 n + 1 n + 2 - 1 n =

= lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 e   n + 3

= lim n → ∞ ⁡ - 1 e   = - 1 e = L

Como R = 1 / L , temos:

R = e

Resposta

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