Encontre a Série de Taylor de centrada no valor dado de . [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .]
Passo 1
Para achar a representação em série de Taylor de uma função, a gente sempre começa buscando um padrão nas derivadas.
Vamos calcular as derivadas de e procurar um padrão.
Repare que, a cada derivação, aparece mais um multiplicando o denominador, de modo que temos .
Ao mesmo tempo, o expoente de perde uma unidade a cada (começando em , na função primitiva).
No numerador, nós temos a multiplicação de números ímpares, desde até .
O sinal se alterna, ou seja, temos um termo (sempre verifique se esse índice está certo testando valores de ).
Logo, podemos escrever o seguinte:
Passo 2
Vamos, agora, montar a Série de Taylor! Lembra que ela tem essa cara aqui,
Para a série em torno de :
Precisamos, agora, substituir a expressão que encontramos para a derivada.
Portanto, temos a seguinte série