(Capítulo 11.10 – Exercício 8) Encontre a sére de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que ] Também encontre o raio de convergência associado.

Temos a função

Vamos derivar a função algumas vezes e substituir , para aí reconhecermos se ela tem algum padrão na derivada, algum loop que acontece, enfim hehehe

Podemos montar a seguinte tabela, para alguns valores de n:

Legal, já temos algumas derivadas para os primeiros valores de , agora vamos colocar isso no formato da série de Maclaurin

Podemos escrever como:

Usando as derivadas que encontramos no passo anterior, temos:

Olha que show: só temos os termos pares nessa expansão: 0, 2, 4, ... Então só vamos usar termos com , que é sempre um número par

Além disso, o sinal vai trocando entre positivo e negativo, então vamos colocar o termo na série

Podemos então representar essa expressão em termos da série:

Uhuuu, encontramos a série

Agora só falta o raio de convergência dela

Só pra lembrar: o intervalo de convergência vai incluir os valores de em que a série não vai explodir lá pro , sacou? Já o raio de convergência é basicamente a distância do centro da série até um extremo do intervalo de convergência

Para encontrarmos o raio de convergência, vamos aplicar o queridíssimo Teste da Razão, que diz que dada uma série de potência assim:

Vamos calcular esse limite, obtendo o resultado

E aí o nosso raio de convergência vai ser

Fechou?

Sabendo que nossa série de potências é

, temos que o termo que gera a potência é o , enquanto o que multiplica ele é:

Então vamos calcular esse limite:

Temos , então

Cortando os termos comuns em cima e embaixo:

Então, o raio de convergência é

E fimmmm