UFMG – Cálculo 2 – P1 – Questão 3
Encontre a série te Taylor para centrada em e determine seu intervalo de convergência
Passo 1
Olá, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui!
A questão deu uma função e pediu para encontrarmos a série de Taylor centrada em e pediu também para determinar o intervalo de convergência.
Bom, a série de Taylor de alguma função é dado por
Então a primeira coisa a se fazer é encontrar o padrão de derivada que essa função vai apresentar. Não esquece de aplicar a derivada em , pois a série é centrada nesse ponto!
Depois que encontrarmos esse padrão, basta substituir na série, simplificar o que der para simplificar e está pronto! Nossa série de Taylor da função .
Mas não é só isso que a questão pede! Ela pergunta o intervalo de convergência dessa série. E para determinar isso, precisamos aplicar o teste da razão para convergência absoluta
Nesse teste avaliamos o limite da razão do termo geral. Se esse limite for menor do que , então a série converge. E a partir desse teste, vamos definir qual é o intervalo onde nossa série tem comportamento convergente.
Beleza? Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa função é
Reescrevi a função para ficar mais fácil encontrarmos um padrão para a derivada.
Derivando uma vez (e aplicando em 1)
Mais uma vez
Mais uma vez
E mais uma vez
Percebemos um padrão aqui! Começando pelo sinal: a primeira derivada dá um sinal negativo, a segunda positiva, terceira negativa e assim alternadamente. E o valor? É sempre o fatorial de ordem da derivada! Na primeira temos 1, pois , e segue nas outras ordens e assim vai... então o padrão de derivada é:
Beleza?
Passo 3
Agora que temos o padrão de derivada, podemos montar nossa série de Taylor:
O que podemos fazer é simplificar o fatorial de , abrindo o denominador até :
E é essa a série de Taylor de centrada em . Beleza?
Agora vamos calcular o intervalo de convergência dessa série! Mas pra isso precisamos achar o raio de convergência primeiro!
Passo 4
Mas o que é raio de convergência de uma série?
Supondo uma séria escrita nesse formato aqui
O intervalo de convergência é o intervalo na reta dos onde essa série seria convergente. Por exemplo, supondo que essa série só vai convergir quando estiver entre e :
Para verificar se os extremos pertencem ao intervalo (bolinha fechada) ou não (ou aberta) basta substituir cada extremo na série e analisar o comportamento. Se for divergente então nesse ponto o intervalo é aberto. Se a série for convergente, então o intervalo ali é fechado.
Beleza?
Mas e como calculamos esse raio de convergência? Pelo reste da razão das séries alternadas!
Se a série estiver escrita nesse formato:
Então vamos calcular :
E então o raio de convergência será :
E o intervalo? Bom, aí é só fazer e a partir do centro da série:
Obs.: não esquece de verificar se o intervalo é aberto ou fechado! (aqui deixei ele aberto! Mas precisamos verificar, ok?)
- Então a ideia para resolver essa questão é o seguinte:
- Escrever a série no formato
- Determinar e a razão
- Calcular o limite dessa razão no infinito
- Com o valor do limite , calcular o raio de convergência e o intervalo
- Por fim, testar os extremos do intervalo.
Beleza?
Vamos lá!
Passo 5
Nossa série já está centrada em ,
Então é tudo que multiplica o termo no somatório:
Para achar basta substituir por :
Beleza?
Agora vamos calcular a razão :
Passo 6
O próximo passo é calcular o limite dessa razão no infinito (e aqui pode usar e abusar de todas as técnicas que você viu lá em cálculo 1):
Como nos deparamos com uma indeterminação, vou aplicar a regra de L’Hopital. É só derivar em cima, derivar embaixo e avaliar de novo o limite.
Com o valor do limite, podemos determinar o raio e o intervalo de convergência!
E o intervalo vai ser, somando e subtraindo o valor do raio, do centro da série (que vimos lá no passo 1 que esta série é centrada em ):
Beleza? Já determinamos o intervalo de convergência, mas não sabemos se os extremos pertencem ou não ao intervalo, então precisamos testar!
Passo 7
Nosso próximo passo é testar os extremos! Primeiro vamos testar :
Fazendo temos e a série fica assim:
Caímos em uma série alternada, então para analisar seu comportamento, vamos relembrar as condições do teste da série alternada:
Vamos analisar primeiro o limite no infinito:
Oba! A primeira condição já foi satisfeita! Agora vamos verificar a segunda:
E assim por diante... então podemos ver que , satisfazendo, portanto, a segunda condição do teste!
é convergente e isso significa que pertence sim ao nosso intervalo de convergência!
Beleza?
Vamos testar o outro lado?
Passo 8
Agora precisamos substituir na série de potências:
Daí temos
Que é a série harmônica, e sabemos que ela é divergente
Isso significa que em o intervalo é aberto!
Recapitulando:
O intervalo que encontramos é:
Vimos que em a série numérica é convergente e que em ela é divergente. Então o intervalo é fechado em e aberto em :
Ufa! Terminamos!
Bora pra próxima?