UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Listas de C2 - Profª Aline Lunkes - Lista 8 - Série de Potências, Questão 4.13
4. Encontre a série de Taylor de centrada no valor dado de . [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que ]. Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
A série de Taylor de uma função centrada no valor é dada pela fórmula:
Onde é a -ésima derivada de avaliada em .Vamos aplicar essa fórmula à função centrada em . Primeiro, vamos calcular as derivadas de :
Passo 2
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Agora, vamos avaliar essas derivadas em :
Passo 3
Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, obtemos:
Simplificando os coeficientes das potências, temos:
Passo 4
O raio de convergência da série de Taylor é o maior intervalo aberto centrado em no qual a série converge. No nosso caso, a série é uma série de potências polinomial, e sabemos que a série de potências de um polinômio converge para todo real. Portanto, o raio de convergência é .