Determine o valor da série
Dica: Use a série de potência de para lhe auxiliar.
Passo 1
Vamos achar a série de potência da que ele deu primeiro. Para isso, vamos começar achando a série de potência de , a série de potência de uma função vai ser a série de Taylor, vamos centrá-la em .
Vamos fazer
Vamos calcular as derivadas de e procurar um padrão.
Logo, podemos escrever o seguinte:
Temos, portanto, expressões diferentes para índices pares e ímpares.
Passo 2
Vamos, agora, montar a Série de Taylor.
Para a série em torno de zero, temos:
Precisamos substituir as expressões que encontramos para a derivada. Repare:
Assim, restam apenas os índices pares. Reescrevendo a série para os índices , temos:
Substituindo a expressão da derivada:
Passo 3
Vamos, então, calcular o raio de convergência, pelo Teste da razão. Na forma simplificada para séries de potências temos:
Então
Como , tomando a convenção que , temos .
Fizemos isso, só para garantir que podemos usar qualquer valor de na nossa série, coisa que vamos fazer mais p frente.
Passo 4
Agora, vamos partir para a série de , para isso, vamos trocar por na série que achamos
Passo 5
A nossa vai ser , então é só pegar a série que achamos ali em cima e multiplicar por
Ufa, achamos a que ele disse que vai nos ajudar. Só não sabemos como ainda hahaha
Passo 6
Vamos olhar a série que ele quer
Comparando com a série que achamos para ,
Podemos perceber que
Assim, vamos ter
Assim