UFMG – Cálculo 2 – 2022.1 – P2
- Seja uma função infinitamente derivável. Suponha que a série de Taylor da centrada em seja dada pela série
- Ache a expressão para e determine o valor de . (Lembre-se> é a n-ésima derivada da , ou seja, derivamos vezes a .)
Passo 1
Fala aí, galerinhaa!
O problema nos deu essa série doida aqui
Bom... o problema nos fala que essa série é a série de Taylor centrada em . Tá... e daí?
Ele tá pedindo sobre derivadas de ordem , que que isso tem a ver??
Olha só, lembra do seguinte... Se a gente tem uma função a gente pode usar uma série de Taylor para representar essa função em torno de algum ponto através de suas derivadas usando essa fórmula aqui:
HEHEHE!
O que a gente vai fazer é usar essa definição e comparar com a série que a gente tem para ver estipular as derivadas da função! Vem comigo que a gente vai entender esse processo na prática😊
Partiu!!
Passo 2
A série de Taylor da função que a gente tem centrada em fica com essa cara aqui:
Bom, se a gente supor que ou melhor é igual a zero, a gente pode escrever essa série como:
No fundo quando tivermos vamos ter na série e então podemos começar a série em certo?
Eu fiz isso porque agora a gente pode igualar essa série com a série que o problema nos dá:
Comparando os termos que estão dentro do somatório temos o seguinte:
Lembrando que temos que a derivada n-ésima da função em é dada por:
Maravilha!!
Passo 3
Agora que temos uma fórmula para podemos calcular qualquer derivada de ordem apenas substituindo o valor de . Como queremos temos:
E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??