UFTPR, Londrina, Cálculo 3, Listas de Estudos Cáculo 3, UTFPR - Lista 2022.2, Questão 8
Encontre a série de Maclaurin de (detalhe o método que utilizou para obter) e seu raio de convergência. Encontre o valor aproximado de .
Passo 1
Eaew, belezinha?
Esta questão quer que determinemos uma série de potências para a seguinte função
usando uma série de Maclaurin. É basicamente isso! Mas como fazer isso? A série de Maclaurin é definida como
É bem parecida com a série de Taylor, mas com . Ou seja, precisamos calcular várias derivadas para identificar uma expressão geral para a série! Além disso, precisamos calcular o raio de convergência da série que iremos obter, por último, usar o resultado obtido para aproximarmos o valor de . Bora lá!
Passo 2
Vamos trabalhar em encontrar a série de Maclaurin da seguinte função
e através da série desta função, obter a que desejamos! Belezinha? Primeiro, vamos calcular cada um dos coeficientes, temos que para , obtemos
da mesma forma, para , temos agora
como temos que a derivada da exponencial é a própria exponencial
Podemos obter que
Note que isso irá se repetir, sempre obtendo o valor para todos coeficientes, portanto, temos que a série de Maclaurin a função exponencial é simplesmente
Claro, não é isso que estamos querendo, mas a partir desta podemos construir o que desejamos! Vamos lá!
Passo 3
O que queremos é a expansão em série de potências da função
A principal diferença é que temos ao invés de , simplesmente , então vamos fazer essa substituição, nós obtemos que
Podemos separar como , ou seja, ganhamos um termo que indica a alternância de sinal dos coeficientes, temos que
Essa é a série de potências de nossa função! Ainda precisamos determinar o seu raio de convergência! Vamos lá!
Passo 4
Determinar o raio de convergência é encontrar um intervalo em em que a nossa série é convergente. Mas como determinar a convergência de uma série? Existem várias maneiras, em particular quando temos fatoriais em nossa série é conveniente utilizar o teste da razão, este teste diz que
se a série é absolutamente convergente, se , podemos dizer nada, se , a série é divergente! Em nosso caso, iremos ter a liberdade de estabelecer um intervalo para que garanta que . Esse será o nosso intervalo de convergência! Bora fazer isso!
Passo 5
Podemos identificar em nossa série que
portanto, temos que
podemos escrever o nosso limite como
temos uma razão de duas frações, portanto, podemos multiplicar a que está no numerador pelo inverso da que está no denominador, para encontrar
Como temos que , também que , e que , podemos simplificar o denominador e o numerador obtendo o seguinte limite
Como temos que o limite é em , podemos escrever que
Como temos que
para todo , então temos que o intervalo de convergência é o aberto
o raio de convergência também será ilimitado nestas condições! Vamos agora aproximar o valor de . Vem comigo!
Passo 6
Para aproximar o valor de podemos pensar no caso em que em nossa expansão, pois temos então que
que pode ser simplificado simplesmente como
já que elevando a qualquer coisa é simplesmente . Se expandirmos a soma por alguns termos, temos que
Somando estes termos, temos que o valor aproximado é
que é bastante próximo do valor esperado usando que A questão é isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
A série é dada por , com raio de convergência ilimitado e a aproximação de é .