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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

Séries de Taylor

( b ) Encontre a série de Taylor em torno de x = 0 da função e x .

( c ) Encontre uma representação em série de potências em torno de x = 0 da função

f x = ∫ 0 x e t - 1 t d t

Passo 1

( b ) Ahh, essa é fácil... você já deve ter visto por aí.

Vamos lá! A série de Taylor tem essa cara:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

Vamos tomar a = 0 aqui:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Passo 2

Ótimo, mas sabemos que se f x = e x , então:

f ' x = f ' ' x = … = f n x = e x

Supimpa! Então, para x = 0 ,

f 0 = f ' 0 = f ' ' 0 = … = f n 0 = e 0 = 1

Logo,

f x = e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n

Essa fórmula é válida para todo x ∈ R .

Passo 3

( c ) Vamos usar o resultado da questão anterior agora. Trocando x por t :

e t = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! t n = 1 + t + t 2 2 ! + t 3 3 ! + …

Assim, ao subtrairmos 1 , perdemos o primeiro elemento:

e t - 1 = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! t n - 1 = 1 + t + t 2 2 ! + t 3 3 ! + … - 1

e t - 1 = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! t n - 1 = t + t 2 2 ! + t 3 3 ! + …

Que podemos escrever como o somatório começando de n = 1 :

e t - 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 n ! t n

Passo 4

Agora é hora de dividir por t ...

e t - 1 t = t - 1 ∑ n = 1 ∞ 1 n ! t n = ∑ n = 1 ∞ 1 n ! t n - 1

Ou, rearrumando o somatório:

e t - 1 t = ∑ n = 0 ∞ 1 ( n + 1 ) ! t n

Passo 5

O último passo é integrar tudo.

f x = ∫ 0 x e t - 1 t d t

f x = ∫ 0 x ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 ! t n d t

f x = ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 ! x n + 1 n + 1

Rearrumando o somatório:

f x = ∑ n = 1 ∞ x n n . n !

E também vale para todo x ∈ R .

Resposta

( b ) e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n

( c ) f x = ∑ n = 1 ∞ x n n . n ! , x ∈ R .

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