Encontre a série de Taylor em torno de da função .
Encontre uma representação em série de potências em torno de da função
Passo 1
Ahh, essa é fácil... você já deve ter visto por aí.
Vamos lá! A série de Taylor tem essa cara:
Vamos tomar aqui:
Passo 2
Ótimo, mas sabemos que se , então:
Supimpa! Então, para ,
Logo,
Essa fórmula é válida para todo .
Passo 3
Vamos usar o resultado da questão anterior agora. Trocando por :
Assim, ao subtrairmos , perdemos o primeiro elemento:
Que podemos escrever como o somatório começando de :
Passo 4
Agora é hora de dividir por ...
Ou, rearrumando o somatório:
Passo 5
O último passo é integrar tudo.
Rearrumando o somatório:
E também vale para todo .
Resposta
, .