UFSCAR – Sem campus; Séries e Equações Diferenciais; Simulado 13 2021.1; questão 10
Qual é a expressão em Série de Maclaurin de .
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Passo 1
E aí galerinha, como vocês estão por aí?
Pegamos essa questão de séries e equações diferenciais e nós vamos destruir do jeitinho Responde Aí!
A questão nos pede para determinarmos a expressão em série de Maclaurin de , então o primeiro passo é lembrar que a série de Maclaurin da função é escrita na forma:
Aplicando a condição para .
Avaliando as derivadas, teremos:
Simplificando essa equaçãozona!
Passo 2
Opaaa, encontramos a função , agora basta transformá-la em série, vem comigooo descobrir como faremos isso!
A ideia que vamos seguir é usar um pouquinho de raciocínio lógico! Por exemplo, percebemos que os termos em alternam de positivo e negativo, ou sejaaa, que a série depende do valor de , logo, é um termo da série!
Avaliando termo por termo, percebemos que o denominador é sempre ímpar, para que isso seja verdade, podemos escrever .
Seguindo essa mesma lógica, percebemos que a variável é elevada apenas por números ímpares, para que isso seja verdade, podemos escrever . E por fim, o número que acompanha é sempre par e crescente, como se fosse elevado a um número . E juntando tuuuudoo isso, temos que a série pode ser escrita como:
Essa questão foi dificinha, né?
Vamos chegamos ao fim, ufaaa