4. Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R_n(x) → 0 ]. Também encontre o raio de convergência associado.

f(x) = x - x^3, a = -2

Passo 1

A série de Taylor de uma função f ( x ) centrada no valor a é dada pela fórmula:

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞   f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n

Onde f ( n ) ( a ) é a n -ésima derivada de f ( x ) avaliada em x = a .Vamos aplicar essa fórmula à função f ( x ) = x - x 3 centrada em a = - 2 . Primeiro, vamos calcular as derivadas de f ( x ) :

f ( x ) = x - x 3

Passo 2

Primeira derivada:

f ' ( x ) = 1 - 3 x 2

Segunda derivada:

f ' ' ( x ) = - 6 x

Terceira derivada:

f ' ' ' ( x ) = - 6

Agora, vamos avaliar essas derivadas em x = a = - 2 :

f ( - 2 ) = - 2 - ( - 2 ) 3 = - 2 + 8 = 6

f ' ( - 2 ) = 1 - 3 ( - 2 ) 2 = 1 - 12 = - 11

f ' ' ( - 2 ) = - 6 ( - 2 ) = 12

f ' ' ' ( - 2 ) = - 6

Passo 3

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, obtemos:

f ( x ) = 6 - 11 ( x + 2 ) + 12 2 ! ( x + 2 ) 2 + - 6 3 ! ( x + 2 ) 3

Simplificando os coeficientes das potências, temos:

f ( x ) = 6 - 11 ( x + 2 ) + 6 ( x + 2 ) 2 - 2 ( x + 2 ) 3

Passo 4

O raio de convergência da série de Taylor é o maior intervalo aberto centrado em a no qual a série converge. No nosso caso, a série é uma série de potências polinomial, e sabemos que a série de potências de um polinômio converge para todo x real. Portanto, o raio de convergência é R = ∞ .

Resposta

f ( x ) = 6 - 11 ( x + 2 ) + 6 ( x + 2 ) 2 - 2 ( x + 2 ) 3

R = ∞

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