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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

Passo 1

a)

Primeiro vamos escrever a série de c o s ⁡ ( 2 x ) , então:

cos ⁡ 2 x =   ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n x 2 n 2 n ! = 1 - 2 x 2 + ∑ n = 2 ∞ - 1 n 2 2 n x 2 n 2 n ! =

Substituindo na expressão da função:

f x = - ∑ n = 2 ∞ - 1 n 2 2 n x 2 n 2 n ! x 4 =   ∑ n = 2 ∞ - 1 n + 1 2 2 n x 2 n - 4 2 n !

Para encontrar F ( x ) , devemos integrar, então:

F x = ∫ 0 x f t d t = ∫ 0 x ∑ n = 2 ∞ - 1 n + 1 2 2 n t 2 n - 4 2 n ! d t =   ∑ n = 2 ∞ - 1 n + 1 2 2 n x 2 n - 3 ( 2 n - 3 ) 2 n !  

Passo 2

b)

Devemos truncar a série para que o erro seja menor que 10 - 5 assim:

F 1 2 = ∑ n = 2 k - 1 n + 1 2 3 ( 2 n - 3 ) 2 n ! +   ϵ  

Assim:

ϵ < a k + 1   ⇒ a k + 1 < 10 - 5  

Substituindo o valor do coeficiente:

- 1 k 2 3 2 k - 1 2 k + 2 ! ≤ 10 - 5

Testando os valores, encontramos k = 4 ,   então:

F 1 2 = ∑ n = 2 4 - 1 n + 1 2 3 ( 2 n - 3 ) 2 n !

Resposta

a)

  ∑ n = 2 ∞ - 1 n + 1 2 2 n x 2 n - 3 ( 2 n - 3 ) 2 n !

b)

F 1 2 = ∑ n = 2 4 - 1 n + 1 2 3 ( 2 n - 3 ) 2 n !

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