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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

PUC - Rio; Cálculo 4 (MAT1154); P1 de 2019.2

Questão 2:

Encontre a série de Taylor das funções abaixo, centradas no ponto a dado. Encontre também o raio de convergência R

i .       f x = 1 x ,           a = - 3 ;                                 i i .       g x = sin ⁡ x ,           a = π 2

Passo 1

Ora, sabemos que as séries de Taylor S x ao redor de um número a podem ser expressas assim:

S x = ∑ n = 0 ∞ c n x - a n

Onde

c n = S n a n !

Então partiu encontrar essas séries !

Passo 2

CASO i:

i .       f x = 1 x ,           a = - 3 ;

Primeiro calculemos as derivadas:

f 0 x = f x = 1 x

f ' x = - 1 x 2

f ' ' x = 2 1 x 3

f ' ' ' x = - 2 ⋅ 3 1 x 4

f 4 x = 2 ⋅ 3 ⋅ 4 1 x 5

Perceba que dá para pegar um padrão, né?

f n x = - 1 n - 1 n - 1 ! x n

Então...

f n - 3 = - 1 n - 1 n - 1 ! - 3 n =

- 1 n - 1 n - 1 ! - 1 n 3 n =

- n - 1 ! 3 n  

Ou seja, no nosso caso, o c n é...

c n = f n - 3 n ! = - n - 1 ! 3 n n ! =

- 1 n 3 n

E a série Taylor ao redor de - 3 no nosso caso será...

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 3 n x + 3 n

Passo 3

Para encontrar o Raio de convergência R dessa série, basta à gente lembrar lá da teoria que raio de convergência se calcula...

R = lim ⁡ c n c n + 1  

R = lim n → ∞ ⁡ - 1 n 3 n - 1 n + 1 .   3 n + 1 =

R = lim n → ∞ ⁡ n + 1 . 3 n + 1 n 3 n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ⋅ 3 n = 3

Passo 4

CASO ii:

i i .       g x = sin ⁡ x ,           a = π 2

Novamente! Vamos lá, primeiro derivando...

g 0 x = sin ⁡ x

g ' x = cos ⁡ x

g ' ' x = - sin ⁡ x

g ' ' ' x = - cos ⁡ x

g 4 x = sin ⁡ x

Perceba que também existem padrões nessa derivada! Se substituirmos o ponto a vai simplificar muito a nossa vida:

g 0 π 2 = sin ⁡ π 2 = 1

g ' π 2 = cos ⁡ π 2 = 0

g ' ' π 2 = - sin ⁡ π 2 = - 1

g ' ' ' π 2 = - cos ⁡ π 2 = 0

g 4 π 2 = sin ⁡ π 2 = 1

Percebeu? Primeiro, todos os termos impares ( 2 n + 1 ) são 0 e todos os pares ( 2 n ) são ora 1 ora - 1 . Assim, podemos separar g n a em dois grupos: um par e outro ímpar:

g n a = g 2 n g 2 n + 1

Como todos os ímpares são nulo...

g n a = g 2 n g 2 n + 1 = 0

Já os pares, ora 1 ora - 1 . Isso é o mesmo que - 1 n . Quando o n é 0 por exemplo, temos g 0 = - 1 0 = 1 o que é verdade, saca? Então...

g n a = g 2 n = - 1 n g 2 n + 1 = 0

Então, o c n

c n = g n a n !

Também deverá ser separado em 2 trocando o n por 2 n para formar o lado par e por 2 n + 1 para impar:

c n = c 2 n = g 2 n a 2 n ! c 2 n + 1 = g 2 n + 1 a 2 n + 1 !

Substituindo os g ’s...

c n = c 2 n = - 1 n 2 n ! c 2 n + 1 = 0 2 n + 1 !

A série de Taylor nesse caso será:

g x = ∑ n = 0 ∞ c n x - a n

Separando a soma em termos pares e ímpares (basta trocar todos os n’s)...

g x = ∑ n = 0 ∞ c 2 n x - a 2 n + ∑ n = 0 ∞ c 2 n + 1 x - a 2 n + 1   →

g x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! x - π 2 2 n + ∑ n = 0 ∞ 0 x - π 2 2 n + 1   →

g x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! x - π 2 2 n

Passo 5

Para determinar o raio de convergência dessa outra série...

R = lim ⁡ c n c n + 1  

R = lim n → ∞ ⁡ - 1 n 2 n ! - 1 n + 1 2 n + 1 ! =

R = lim n → ∞ ⁡ - 1 n 2 n ! ⋅ 2 n + 1 ! - 1 n + 1 =

Separando esses termos lembrando-se de que 2 n + 1 ! = 2 n + 1 2 n ! ...

R = lim n → ∞ ⁡ - 1 n 2 n ! ⋅ 2 n + 1 2 n ! - 1 n - 1 =

R = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 - 1 =

Então, como quando n vai para o infinito, 2 n + 1 também vai, concluímos que o raio aqui é ∞ !

R = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 = ∞

Resposta

Item i :

f x = ∑ n = 0 ∞ 1 3 n x + 3 n       e         R = 3

Item i i :

g x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! x - π 2 2 n         e           R = ∞

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