Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Ver Teoria
Exercício 291234567891011121314151617181920212223242526272830313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Ache o valor aproximado da integral

∫ 0 1 cos ⁡ x - 1 x 2 d x

Com um erro inferior a 10 - 3 .

Passo 1

Bom, estamos cansados de ver aproximação de valores através de séries de Taylor. Aqui não vai ser diferente. Primeiro, temos que escrever aquele cara na integral como série:

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n ! , ∀ x ∈ R

cos ⁡ x - 1 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n ! - 1 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n x 2 n 2 n ! , ∀ x ∈ R

cos ⁡ x - 1 x 2 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n x 2 n - 2 2 n ! , ∀ x ≠ 0

Passo 2

Maneiro! Então vamos reescrever nossa integral assim:

∫ 0 1 cos ⁡ x - 1 x 2 d x = ∫ 0 1 ∑ n = 1 ∞ - 1 n x 2 n - 2 2 n ! d x = ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 1 - 1 n x 2 n - 2 2 n ! d x

∑ n = 1 ∞ ∫ 0 1 - 1 n x 2 n - 2 2 n ! d x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n x 2 n - 1 2 n ! 2 n - 1 0 1 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n ( 2 n - 1 ) 2 n !

Passo 3

Beleza, então queremos aproximar:

∑ n = 1 ∞ - 1 n ( 2 n - 1 ) 2 n !

Isso já vimos como fazer:

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n - 1 2 n ! ≈ ∑ n = 1 k - 1 n 2 n - 1 2 n !

c o m   e r r o = ∑ n = k + 1 ∞ - 1 n 2 n - 1 2 n ! ≤ a k + 1 = 1 2 ( k + 1 ) - 1 2 ( k + 1 ) !

E estamos interessados em:

1 2 k + 1 - 1 2 k + 1 ! < 10 - 3

( 2 k + 1 ) 2 k + 2 ! > 10 3

Para k = 2

5.6 ! = 5.720 > 10 3

Portanto:

∫ 0 1 cos ⁡ x - 1 x 2 d x ≈ ∑ n = 1 2 - 1 n 2 n - 1 2 n ! = - 1 2 + 1 3.4 ! = - 35 72

Com erro ϵ < 10 - 3 .

Resposta

∫ 0 1 cos ⁡ x - 1 x 2 d x ≈ ∑ n = 1 2 - 1 n 2 n - 1 2 n ! = - 1 2 + 1 3.4 ! = - 35 72

Com erro ϵ < 10 - 3 .

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstre que a série obtida no Exercício 11 representa x para todo x .
Encontre a série de Taylor de f centrada em 4 se f n 4 = - 1 n n ! 3 n n + 1 Qual é o raio de convergência da série de Taylor?
Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de converg
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência. 1 1 + x 4
Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada. f x = sen ⁡ π x