UFTPR - Londrina - Cálculo 3 - Listas - Teste 9 - Listas de Estudos Cáculo 3 - UTFPR - Lista 2022.2 - Questão 6
Determine uma representação por séries de potências para . Utilize a série de Maclaurin em sua resolução, explique detalhadamente como ela foi utilizada.
Passo 1
Eaew, belezinha?
Esta questão quer que determinemos uma série de potências para a seguinte função
usando uma série de Maclaurin. É basicamente isso! Mas como fazer isso? A série de Maclaurin é definida como
É bem parecida com a série de Taylor, mas com . Ou seja, precisamos calcular várias derivadas para identificar uma expressão geral para a série! Mas tem uma forma de facilitar as nossas derivadas, vem comigo!
Passo 2
Vamos trabalhar em encontrar a série de Maclaurin da seguinte função
e através da série desta função, obter a que desejamos! Belezinha? Primeiro, vamos calcular cada um dos coeficientes, temos que para , obtemos
da mesma forma, para , temos agora
como temos que a derivada de seno é
Podemos obter que
Vamos continuar repetindo este processo! Temos que para , precisamos calcular
Acabamos de calcular que , e usando que
Obtemos que
A ideia é calcular alguns outros termos e tentar identificar uma relação entre eles! Pelo que obtive até agora, parece que teremos uma alternância de sinal, e a existência de apenas coeficientes ímpares! Mas vamos abrir mais alguns para garantir!
Passo 3
Com precisaremos calcular
Como já calculamos a primeira e a segunda derivada, precisamos apenas derivar novamente o resultado , que nos leva à
ou, simplesmente,
Note que o será nulo, e o terá sinal positivo, ou seja, sempre teremos o valor para todo coeficiente, apenas os coeficientes ímpares são não-nulos, e eles alternam o sinal! Portanto, temos que
O garante que para todo tenhamos apenas os valores ímpares, e dá a alternância de sinal desejada! Então essa é a série de potências para o seno! No entanto, não era ela que queríamos, certo? Vamos mexer nisso um pouco agora!
Passo 4
A função que queremos expandir é a seguinte
portanto, as diferenças com o que calculamos são, primeiro temos e não , e temos um multiplicando! A primeira mudança que vale a pena fazer é mudar o argumento do seno em nossa expansão, temos que
e, agora, é só multiplicar por em ambos os lados, temos que
Como o somatório é em , podemos simplesmente entrar com a variável , e usando que , obtemos
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!