Integração e Derivação termo a termo e Séries de Taylor
- Seja
Determine a expansão em série de potências para a função
Em torno de
- Calcule uma aproximação para com erro inferior a
Determine a expansão em série de potências para a função
Em torno de
Passo 1
a)
Ele está pedindo a expansão em série de potência daquela , bem ela nada mais é que a integral da , então vamos escrever a em forma de série de potência.
Para isso temos que achar a série de Taylor da , mas olha a cara dela, uma coisa levemente assustadora de ficar derivando né?
Mas temos uma função cosseno ali, essa é de boa de achar, depois é só irmos arrumando porque depois só temos coisas polinomiais na .
Primeiro vamos fazer
Para achar a série de Taylor de cosseno vamos começar achando as derivadas de cosseno
Separando as derivadas em pares e impares vamos ter
Como queremos essa série em torno do vamos ter
Passo 2
Vamos agora montar a série para o cosseno
Temos a nossa série do cosseno.
Mas a função que ele deu tem , então vamos trocar por
Então
Passo 3
Agora que temos o cosseno que ele pediu, vamos completar a função
Repara que o primeiro termo da série é , com aquele ele vai sumir, e a série vai começar em
Dividindo por
Então temos que
Repara que isso inclui .
Calma que ainda falta um detalhe, para jogar isso dentro da integral temos que ver o raio de convergência dessa parada.
Passo 4
Vamos ver o raio de convergência dessa função, para isso vamos fazer o teste da razão,
Logo ele vai convergir para qualquer valor de , quando integrarmos ele também vai valer para qualquer valor de daquela integral isso porque não temos restrições para essa função.
Passo 5
Vamos agora para a função
Vamos resolver aquela integral
Dessa forma nossa função vai ficar
Passo 6
b)
Vamos calcular o valor que ele pediu
Beleza?
Ele quer uma aproximação dessa parada, então temos que dar uma trucada nessa série.
Passo 7
Vamos analisar o erro. Como temos uma série alternada, podemos usar o critério de Leibniz para séries alternadas aí vamos ter
Vamos ter
Ele quer que esse valor seja menor que , para isso é só fazer
Temos que achar um que faça aquilo ser verdade
Então
Vamos testando até achar um
Então temos
Passo 8
Vimos que basta pegar , então