Encontre a Série de Taylor de em torno do ponto . [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que .] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Já resolvemos essa questão em um exemplo, comparando sua derivada com a soma da Série geométrica. Vamos, agora, resolver encontrando a Série de Taylor.
Vamos calcular as derivadas de e procurar um padrão.
Temos os coeficientes: . Veja que
Temos, então, sempre .
Agora, vamos analisar os sinais. Já vimos que eles se alternam, então, temos elevado a alguma potência, mas qual? Veja que nos ’s pares, temos sinal negativo para o , enquanto nos ímpares, temos positivos.
Se escrevermos , essa regra não é obedecida, mas escrevendo , os sinais ficam corretos.
E assim por diante!
Logo, podemos escrever o seguinte:
Passo 2
Montar a Série de Taylor.
Para a série em torno de zero, temos, então:
Na verdade, como , podemos escrever que a série começa em :
Precisamos, agora, substituir a expressão que encontramos para a derivada.
Portanto, temos a seguinte série
Foi importante tiramos o do somatório, porque isso causaria uma indeterminação (teríamos no denominador).
Observação: No exemplo que vimos na teoria, tínhamos encontrado o seguinte somatório:
Se você reparar, é a mesma série, basta fazermos .
Passo 3
Vamos, então, calcular o raio de convergência, pelo Teste da razão. Na forma simplificada para séries de potências temos:
Então
Como , temos .