Considere a série de potências:
(a) Determine o intervalo de convergência dessa série de potências.
(b) Determine , isto é, a derivada de ordem da função em
Passo 1
- Olhando para série de potências vemos que
- Sabemos da série de potências que
Portanto pelo teste da razão temos que
Lembrando que:
Logo o raio de convergência é
Passo 2
Para achar o intervalo de convergência fazemos
Portanto sabemos que no intervalo aberto a série de potências converge.
Passo 3
Agora vamos testar os extremos:
Para
Pelo critério das séries alternadas, temos que:
E
Logo a série converge.
Passo 4
Para
Mas, por comparação, temos que
E como é sabido que a série diverge, temos que a série de potências acima não converge para
Então o intervalo de convergência é:
Passo 5
E
Como queremos a sétima derivada de , é só fazer na formula acima e ficamos com: