Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 10 – Exercício 9
(Capítulo 11.10 – Exercício 9) Encontre a sére de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que ] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Vamossss pra mais uma
Aqui vamos ter uma função , e aí queremos escrever essa função no formato da série de Maclaurin.
Só pra relembrar, a série de Maclaurin é da forma
Onde é a n-ésima derivada no ponto
Então vamos lá
Passo 2
Temos a função
Vamos derivar a função algumas vezes e substituir , para aí reconhecermos se ela tem algum padrão na derivada, algum loop que acontece, enfim hehehe
Podemos montar a seguinte tabela, para alguns valores de n:
Legal, já temos algumas derivadas para os primeiros valores de , agora vamos colocar isso no formato da série de Maclaurin
Passo 3
Podemos escrever como:
Usando as derivadas que encontramos no passo anterior, temos
Então o que acontece nessa série é: a cada , o expoente do vai crescendo de 1 em 1, assim como o termo do denominador
Podemos então representar essa expressão em termos da série:
Uhuuu, encontramos a série
Agora só falta o raio de convergência dela
Só pra lembrar: o intervalo de convergência vai incluir os valores de em que a série não vai explodir lá pro , sacou? Já o raio de convergência é basicamente a distância do centro da série até um extremo do intervalo de convergência
Passo 4
Para encontrarmos o raio de convergência, vamos aplicar o queridíssimo Teste da Razão, que diz que dada uma série de potência assim:
Vamos calcular esse limite, obtendo o resultado
E aí o nosso raio de convergência vai ser
Fechou?
Sabendo que nossa série de potências é
, temos que o termo que gera a potência é o , enquanto o que multiplica ele é:
Então vamos calcular esse limite:
Temos , então
Cortando os termos comuns em cima e embaixo:
Então, o raio de convergência é
E fimmmm