UFMG – Cálculo 2 – 2022.1 – P2
3. Julgue em para os itens corretos e para os errados. Justificando os itens corretos e corrigindo os errados.
a) A série de Taylor de centrada em é dada por
Passo 1
Fala aí, galerinhaa!
Nesse problema o enunciado nos dá a função
e ele nos diz que a série de Taylor centrada em dessa função é dada por
Nossa tarefa nesse problema é verificar se esta afirmação é verdadeira e a melhor maneira de buscar isso é calculando a série de Taylor centrada em da função dada e ver se é igual à série que o enunciado nos deu.Ahh, a gente calcula essa expansão através dessa fórmulinha aqui:
Então o que a gente tem que fazer é calcular uma série de derivadas de ordem superior e ver se existe algum padrão para encontrar
Fica tranquilo que a gente vai entender isso é agora!
Partiu!!
Passo 2
A primeira coisa que a gente tem que fazer é calcular algumas derivadas de ordem superior da função dada e buscar um padrão, ok? As derivadas da função dada são
Tô vendo padrão nenhum kkkkk Vamos ver se melhora quando olhamos essas funções para
A gente consegue observar uma coisa... as derivadas de ordem par são todas iguais a zero. As ímpares tem um padrãozinho sobre o seu sinal.
Passo 3
Bom... Escrever uma cara para essa série pode não ser muito intuitivo de cara. Então, nesses casos, vale a pena a gente escrever alguns termos da série de Taylor e ver se a gente consegue escrever uma fórmula para eles. Abrindo alguns valores da série temos:
Usando o que a gente sabe sobre a cara das derivadas dessa função, temos:
Opa!! A gente pode escrever o seguinte:
Justamente pois quando tivermos temos uma potência de , para temos e por aí vai, certo? Isso é bem padrão quando nos deparamos com uma série em que os expoentes de são todos ímpares.
A gente também consegue descobrir o ele fica alternando entre negativo e positivo, certo? Como ele começa com valores positivos, podemos dizer que:
Esse a gente encontra olhando os possíveis resultados:
E a fórmula geral de fica:
Dessa maneira, a série fica representada como:
Dessa maneira, encontramos a expansão em série de Taylor correta da função!
E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??