UFTPR - Londrina - Cálculo 3 - Listas - Teste 9 - Listas de Estudos Cáculo 3 - UTFPR - Lista 2022.2 - Questão 7
Determine uma representação por s��ries de potências para . Utilize a série de Maclaurin em sua resolução, explique detalhadamente como ela foi utilizada.
Passo 1
Eaew, belezinha?
Esta questão quer que determinemos uma série de potências para a seguinte função
usando uma série de Maclaurin. É basicamente isso! Mas como fazer isso? A série de Maclaurin é definida como
É bem parecida com a série de Taylor, mas com . Ou seja, precisamos calcular várias derivadas para identificar uma expressão geral para a série! Mas tem uma forma de facilitar as nossas derivadas, vem comigo!
Passo 2
Vamos trabalhar em encontrar a série de Maclaurin da seguinte função
e através da série desta função, obter a que desejamos! Belezinha? Primeiro, vamos calcular cada um dos coeficientes, temos que para , obtemos
da mesma forma, para , temos agora
como temos que a derivada da exponencial é a própria exponencial
Podemos obter que
Note que isso irá se repetir, sempre obtendo o valor para todos coeficientes, portanto, temos que a série de Maclaurin a função exponencial é simplesmente
Claro, não é isso que estamos querendo, mas a partir desta podemos construir o que desejamos! Vamos lá!
Passo 3
O que queremos é a expansão em série de potências da função
temos algumas diferenças entre esta função e , primeiro, temos que ao invés de temos , além de termos um multiplicando. Vamos fazer estas mudanças e ver o que obtemos! Primeiro, colocando que no lugar de , temos
Podemos separar como , ou seja, ganhamos um termo que indica a alternância de sinal dos coeficientes, temos que
E se agora multiplicarmos os dois lados por ? Nós obtemos que
Como a somatória é em podemos simplesmente entrar com , e usando que , temos finalmente que
Essa é a nossa expansão em série de potências! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau|