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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

Questão 4: Seja

f x = x 2 2 + x

  1. Encontre a série de Maclaurin de f x e seu raio de convergência.
  2. Determine f 100 0 .

Passo 1

A série de Maclaurin, caso você não esteja se recordando, ela é a série de Taylor

f x - a = ∑ n = 0 ∞ a n x - a n

Mas Maclaurin é calculada ao redor de a = 0 ...

f x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Normalmente, poderíamos pensar em encontrar essa série, ou melhor, os termos a n da série para a f x de três modos distintos:

  1. O primeiro é aplicando a definição de que

    2. a n = f n 0 n !

    O problema de usar esse modo é ter que calcular derivadas de frações!

  2. Outro método que a gente poderia pensar é comparando com uma série já existente e que a gente conheça. Tipo...

    3. e x = ∑ n = 1 ∞ x n n !

    Já o problema aqui é encontrar a série que a gente possa comparar .

  3. Por último, podemos experimentar fazer alguns trabalhinhos na função a fim de chegar em alguma coisa que a gente possa encontrar a série mais fácil.

No nosso caso, a melhor opção é o terceiro caminho mesmo. Vamos nessa?

Passo 2

f x = x 2 2 + x

Veja que é interessante nessa função, descrever f x como sendo algo assim:

A x 2 ⋅ 1 + B x k

Por que isso é interessante? Ora! Pelo Binômio de Newton, a gente consegue um somatório para representar 1 + B x C o que é justamente o que nós buscamos saca?

Vamos tentar encontrar quem são esses termos A ,   B e k , então:

f x = x 2 2 + x = x 2 ⋅ 1 2 + x =

Colocando o 2 em evidência dentro da raiz...

x 2 ⋅ 1 2 1 + x 2 = x 2 2 ⋅ 1 1 + x 2 =

Lembrando que a 1 / 1 + x 2 = 1 + x 2 - 1 / 2 , ganhamos a nossa f x do jeito que a gente planejava:

f x = x 2 2 ⋅ 1 + x 2 - 1 / 2

Onde k = - 1 / 2 !

Passo 3

Bem, pela fórmula da expansão em série do Binômio de Newton, temos o seguinte:

1 + B x k = ∑ n = 0 ∞ k n B x n

Saca? Como B = 1 2 e k = - 1 / 2 ...

1 + x 2 - 1 / 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n x 2 n

Como a f x = x 2 2 ⋅ 1 + x 2 - 1 / 2 , temos que

f x = x 2 2 1 + x 2 - 1 / 2 = x 2 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n x 2 n

Beleza, então o que temos que fazer agora é encontra uma expressão em termos de n para esse combinatório aí! Vamos nessa? (Calma! Se você não se lembra quem é o combinatório e como calcula-lo, me siga no próximo passo )

Passo 4

Pela fórmula do combinatório, temos...

k n = k ! k - n ! ⋅ n !

Onde k ! = k ⋅ k - 1 ⋅ k - 2 ⋅ … ⋅ k - n + 1 ⋅ k - n ! (o antepenúltimo termo é n - 1 )

k n = k ⋅ k - 1 ⋅ k - 2 ⋅ … ⋅ k - n + 1 ⋅ k - n ! k - n ! ⋅ n ! =

k n = k ⋅ k - 1 ⋅ k - 2 ⋅ … ⋅ k - n + 1 n !

Essa é a formula do binômio de combinação, certo? No nosso somatório de Maclaurin, temos n indo de 0 até o infinito! Então o que vamos tentar fazer é encontrar uma lei de formação em termos de n para esse combinatório, vamos nessa?

Passo 5

Para n = 0 temos (e lembrando que o nosso k = - 1 / 2 )...

- 1 2 0 = k ! k - 0 ! ⋅ 0 ! = k ! k ! = 1

Para n = 1 ...

- 1 2 1 = k ⋅ k - 1 ! k - 1 ! 1 ! = k 1 = - 1 2

Para n = 2 ...

- 1 2 2 = k ⋅ k - 1 ⋅ k - 2 ! k - 2 ! 2 ! = k ⋅ k - 1 2 ! = - 1 2 ⋅ - 1 2 - 1 2 ! =

- 1 2 ⋅ - 3 2 2 ! = + 1 ⋅ 3 2 2 ⋅ 2 !

Para n = 3 ...

- 1 2 3 = k ⋅ k - 1 ⋅ k - 2 ⋅ k - 3 ! k - 3 ! 3 ! = k ⋅ k - 1 ⋅ k - 2 3 ! =

- 1 2 ⋅ - 1 2 - 1 ⋅ - 1 2 - 1 3 ! =

- 1 2 ⋅ - 3 2 ⋅ - 5 2 3 ! = - 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 3 ⋅ 3 !

Acho que já deu para perceber como que o combinatório funciona aqui neh? Para um n = a qualquer

- 1 2 a = - 1 a ⋅ 2 a - 1 ! 2 a ⋅ a !

Viu só! Tirando o n = 0 , qualquer n que a gente encontrou na a cima e todos os outros que a gente não calculou, podem ser são descritos com essa mesma fórmula que encontramos! Como n = a ...

n = 0       →             - 1 2 0   n   q u a l q u e r                   →           - 1 2 n = - 1 n ⋅ 2 n - 1 ! 2 n ⋅ n !

Atenção! O termo n = 0 é um termo a parte nesse caso, por que se tomarmos 2 ⋅ 0 - 1 ! = - 1 ! Que não existe por definição, saca? Por isso colocamos o n = 0 a parte

Passo 6

Agora que encontramos uma lei de formação para o combinatório, podemos voltar para a descrição da função f x em série de Maclaurin do passo   3 :

f x = x 2 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n x 2 n =

Como n = 0 é separado, devemos tira-lo do somatório:

f x = x 2 2 - 1 2 0 x 2 0 + ∑ n = 1 ∞ - 1 2 n x 2 n   →

f x = x 2 2 1 ⋅ 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 2 n x 2 n   →

f x = x 2 2 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n ⋅ 2 n - 1 ! 2 n ⋅ n ! ⋅ x 2 n

Essa basicamente já é a série de Maclaurin de f ! Só faltam alguns ajustes. Por exemplo, podemos passar esse termo do lado de fora do parênteses para dentro multiplicando...

f x = x 2 2 + ∑ n = 1 ∞ x 2 2 ⋅ - 1 n ⋅ 2 n - 1 ! 2 n ⋅ n ! ⋅ x n 2 n   →

f x = x 2 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n ⋅ 2 n - 1 ! 2 2 n ⋅ 2 ⋅ n ! ⋅ x n + 2

Prontinho!!!

Passo 7

Para o Raio de convergência, temos que lembrar que o raio de convergência do Binômio que utilizamos para resolver o problema...

1 + B x k = ∑ n = 0 ∞ k n B x n

É de

R a i o = 1 B

Então, o raio de convergência da nossa série de Maclaurin para f x , onde B = 1 / 2 ...

R a i o = 2

Passo 8

b )

Nesse item aqui, não precisa calcular derivada alguma, embora o que queremos seja f 100 0 . Você se lembra da definição de uma série de Maclaurin lá do passo 1 ?

f x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Onde o termo geral a n é dado por...

a n = f n 0 n !

Então veja que f 0 acompanha o termo x 0 ; f ' 0 , acompanha o x 1 ; f ' ' 0 acompanha o x 2 . Logo o f 100 0 vai acompanhar o termo x 100 .

No nosso caso, onde representamos á série assim:

f x = x 2 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n ⋅ 2 n - 1 ! 2 2 n ⋅ 2 ⋅ n ! ⋅ x n + 2

Temos o x 100 quando n = 98 ! Logo...

f 100 0 100 ! ⋅ x 100 = - 1 98 ⋅ 2 ⋅ 98 - 1 ! 2 2 ⋅ 98 ⋅ 2 ⋅ 98 ! ⋅ x 100         →

f 100 0 100 ! = 195 ! 2 196 ⋅ 2 ⋅ 98 !     →

f 100 0 = 195 ! 2 196 ⋅ 2 ⋅ 98 ! ⋅ 100 ! = 195 ! 2 196 ⋅ 2 ⋅ 98 ! ⋅ 100 ⋅ 99 ⋅ 98 !

9900 ⋅ 195 ! 2 196 ⋅ 2

Sacou?

Resposta

a )   f x = x 2 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n ⋅ 2 n - 1 ! 2 2 n ⋅ 2 ⋅ n ! ⋅ x n + 2

b )   f 100 0 = 9900 ⋅ 195 ! 2 196 ⋅ 2

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