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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

Teste 8: Sejam f x = arctan ⁡ x e

g x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

  1. f x = g x para todo x ∈ R .
  2. O domínio da g x está contido no intervalo - 5 ,   4 .
  3. f n 0 = g n 0 para todo n natural
  4. lim x → ∞ ⁡ g x = π 2
  5. f 2 π 0 = 1 2 π

Podemos afirmar que:

  1. Apenas 2 e 3 são verdadeiras.
  2. Apenas 3 e 4 são verdadeiras.
  3. Apenas 1 , 3 e 4 são verdadeiras.
  4. Apenas 2 , 3 e 5 são verdadeiras.

Passo 1

Vamos descobrir se a letra a é verdadeira. Pra isso, vamos encontrar série de potências da função arco tangente:

Bem, eu não conheço nenhuma série que gere a arco tangente de cara, mas conhecemos da derivada do arco tangente. Então aplicando à derivada e integrando para não perder a arco tangente...

f x = ∫ d arctan ⁡ x d x   d x

f x = ∫ 1 1 + x 2   d x

Ora, essa função em negrito é parecida com a série geométrica:

1 1 - t = ∑ n = 0 ∞ t n ,                 t < 1

De fato, trocando o t = - x 2 ...

1 1 + x 2 = ∑ n = 0 ∞ - x 2 n ,                     - x 2 < 1   →     x < 1

1 1 + x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n   x 2 n    

Só que isso só é valido se x < 1 . Voltando com essa expressão para dentro da integral...

f x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n   x 2 n   d x   →

f x = ∑ n = 0 ∞ ∫ - 1 n   x 2 n d x

E integrando...

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 + C  

Essa constante de integração é 0 , pois...

f 0 = arctan ⁡ 0 = 0 =

∑ n = 0 ∞ - 1 n 0 2 n + 1 2 n + 1 + C   →

C = 0

Logo, podemos falar que para x < 1 , f x é igual a g x , mas não é para todo x real, então a primeira alternativa é falsa.

Passo 2

Para conferir isso, basta verificar o raio de convergência da função:

g x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Ora, sabemos que o raio pode ser obtido...

1 R = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 2 n + 1 + 1 - 1 n 2 n + 1 =

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 1 + 1 1 2 n + 1 =

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 2 n + 1 + 1 = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 2 n + 3 = 1

Então R = 1 . Se o raio é igual a 1 e estamos falando de uma série centrada em x 0 = 0 , não tem como de termos valores maiores que 1 ou menores que - 1 . Como o intervalo de - 1 a 1 está dentro do intervalo de - 5 a 4 a alternativa b é Verdadeira!

Passo 3

Pow! Sabemos que f x = g x para um - 1 < x < 1 . Então, f n 0 = g n 0 para qualquer que seja o n (a ordem da derivada) isso é verdade!

Passo 4

Essa quarta alternativa não é verdade! Sabe o porquê? Ora, esse limite aqui está sendo calculado com o x indo para o infinito:

lim x → ∞ ⁡ g x = π 2

Mas nós vimos que a série:

g x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Só converge para um intervalinho finito de x ! Então como esse limite pode ser verdade se quando x vai para o infinito, essa série diverge?

Passo 5

Por último, esse negócio de derivada com ordem 2 π é estranho não é? Afinal de contas derivadas tem ordens inteiras e não irracionais. Mas pra ter certeza disso veja bem:

Sabemos que pela teoria a representação em série de uma função é:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Como no nosso caso...

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Veja que só termos os termos ímpares então no nosso caso, a ordem da derivada e o n ! Devem se ajustados também na fórmula para termos o mesmo 2 n + 1 em todo mundo:

f x = ∑ n = 0 ∞ f 2 n + 1 0 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1

Agora por comparação:

f 2 n + 1 0 2 n + 1 ! = - 1 n 2 n + 1

Como queremos a derivada de ordem bizarra 2 π , esse termo em cima que indica a ordem da derivada ( f 2 n + 1 ) deve ser igual a 2 π :

2 n + 1 = 2 π   →

2 n = 2 π - 1   →

n = π 2 + 1 2

Mas isso é um absurdo, pois n assume apenas valores inteiros de 1 ao infinito! Então esse item também está falso como já podíamos identificar, saca?

Passo 6

Com a 2 e a 3 verdadeiras somente, a letra certa é a letra a :

Apenas 2 e 3 são verdadeiras.

Resposta

Apenas 2 e 3 são verdadeiras.

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