Considere a série de potências

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série.

Encontre (a derivada de ordem da função em ).

Assim, aplicando o Teste da Razão:

Portanto,

De modo que este limite deve ser inferior a para que a série seja absolutamente convergente:

Da inequação acima, garantimos que o raio de convergência é e que a série é absolutamente convergente em e divergente em .

Falta testar os extremos e . No primeiro caso, temos:

Esta série é alternada. Para saber se ela converge ou não precisamos ver se o termo geral, sem o sinal, vai para e se esse mesmo termo geral é decrescente. O termo geral vai ser

Começando com o limite, vamos ter

Para ver que ela é decrescente, neste caso, é tranquilo. Repara que o denominador vai aumentando a medida que aumenta, assim ele vai ser decrescente.

Pelo teste da série alternada essa série converge para

Para :

Ou, podemos reescrever:

Esta é uma p-série com e, portanto, é divergente.

Assim, concluímos que o intervalo de convergência é .

Para achar essa derivada temos que comparar a nossa série com a série de Taylor de .

Temos que escolher um ponto para a série de Taylor. Repara que a série que ele deu tem , além disso ele também quer a derivada em . Isso são dois indicativos que temos que fazer em torno de . Assim nossa série de Taylor vai ficar

Isso nos diz que, aquele somatório do início vai ser igual a nossa série de Taylor

Repara que os expoentes de nos dois somatórios são iguais, assim se eu fizer , o termo igual na série de Taylor vai acontecer em , e por aí vai. Isso nos diz que os termos gerais são iguais. Cuidado, nem sempre vai ser igual. Vamos deixar tudo com o mesmo índice fazendo

Assim, temos

Podemos dizer então que a derivada vai ser

Como ele quer a derivada , o vai ser