Considere a seguinte função:
- Encontre a série de Taylor em torno de zero dessa função.
- Determine o raio de convergência da série encontrada em (a).
Passo 1
Vamos começar resolvendo a letra (a). Como , reescrevemos:
Pronto, mais bonito. A série de Taylor centrada em associada vai ser a série de Maclaurin:
Em que é a derivada de n-éssima ordem no ponto . Vamos então começar derivando. Aqui, pelo o teorema fundamental do cálculo teremos:
Encontramos um problema: a derivada em implica em divisão por zero, o que compromete nosso cálculo. O segredo é separarmos essa parte que dá problema e determinarmos a série do restante. Repara que podemos escrever:
E então podemos encontrar a série de Taylor associada a sem que o problema da divisão por zero ocorra.
Se derivarmos, encontramos:
Se considerarmos , teremos:
Que é uma função na forma:
Para todo . Assim, comparando, temos:
Opa! Então conseguimos a relação que a gente queria. Encontramos uma série para , para encontrar a série associada a , integramos:
Como vimos que:
Então, . Ficando:
Legal, agora substituímos na expressão de .
E teremos:
Legal, agora integramos novamente para encontrar :
Como:
Vamos ter que:
Logo:
E é isso aí!
Passo 2
Vamos agora para a letra (b). A relação que usamos na letra (a)
Já implica no raio de convergência , mas vamos mostrar isso agora. Analisamos a nossa série:
Como aparece potência de , é interessante usarmos o teste da razão:
Vamos então para o limite à direita:
Dividindo pelo maior grau, temos:
Jogamos o limite para dentro da fração:
Então, temos:
Ou seja, o raio de convergência é como esperado 😊