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Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

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Enunciado

Determine a série de Taylor centrada no ponto x 0 = π / 6 das funções:

  1. f x = sen ⁡ x
  2. f x = cos ⁡ x

Passo 1

Ok, vamos começar pela letra (a). Queremos a série de Taylor centrada em x 0 = π / 6 . Então, de forma geral vamos ter: f x = ∑ n = 0 ∞ f n π / 6 n ! ⋅ x - π 6 n

Ou seja, vamos ter que calcular as derivadas f n π / 6 e achar um padrão para substituir na fórmula. Legal, então vamos fazer isso:

f x = f 0 x = sen ⁡ x ⟹ f π / 6 = sen ⁡ π 6 = 1 2

f ' x = cos ⁡ x ⟹ f ' π / 6 = cos ⁡ π 6 = 3 / 2

f ' ' x = - sen ⁡ x ⟹ f ' ' π / 6 = - sen ⁡ π 6 = - 1 / 2

f ' ' ' x = - cos ⁡ x ⟹ f ' ' ' π / 6 = - cos ⁡ π 6 = - 3 / 2

f 4 x = sen ⁡ x ⟹ f 4 π / 6 = sen ⁡ π 6 = 1 2

Então, observando as derivadas, dá para ver que a derivada varia de - 1 / 2 e 1 / 2 para ordem par e - 3 / 2 e 3 / 2 para ordem ímpar:

f n π / 6 = - 1 k ⋅ 1 2 ,     n   p a r - 1 k ⋅ 3 2 ,       n   í m p a r

Portanto, vamos separar nossa série em duas para poder representar. Uma com termos pares n = 2 k e outra com termos ímpares n = 2 k + 1 :

f x = ∑ n = 0 ∞ f n π 6 n ! ⋅ x - π 6 n

= ∑ k = 0 ∞ - 1 k ⋅ 1 2 2 k ! ⋅ x - π 6 2 k + ∑ k = 0 ∞ - 1 k ⋅ 3 2 2 k + 1 ! ⋅ x - π 6 2 k + 1

= 1 2 ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k ! ⋅ x - π 6 2 k + 3 2 ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! ⋅ x - π 6 2 k + 1

Um ponto importante é que temos - 1 k e não - 1 2 k ou - 1 2 k + 1 justamente para manter a característica de alternância de sinal. 😉

Passo 2

OK, vamos para a letra (b) agora. Poderíamos ir no embalo aqui e fazer a conta toda de novo, mas não é necessário. O bizu aqui é ver que

cos ⁡ x = sen ⁡ x '

Então, pelo item anterior, vamos ter: f x = cos ⁡ x = 1 2 ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k ! ⋅ x - π 6 2 k + 3 2 ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! ⋅ x - π 6 2 k + 1 '

Então vamos derivar isso aí. Só derivar o polinômio como se não tivéssemos um somatório: 1 2 ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k ! ⋅ x - π 6 2 k + 3 2 ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! ⋅ x - π 6 2 k + 1 ' =

1 2 ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k ! ⋅ x - π 6 2 k ' + 3 2 ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! ⋅ x - π 6 2 k + 1 '

Olhando para cada derivada, vamos ter: ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k ! ⋅ x - π 6 2 k ' = ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k ! ⋅ 2 k x - π 6 2 k - 1

= ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k - 1 ! ⋅ x - π 6 2 k - 1

∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! ⋅ x - π 6 2 k + 1 ' = ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! ⋅ 2 k + 1 x - π 6 2 k

∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k ! ⋅ x - π 6 2 k = ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k ! ⋅ x - π 6 2 k

Assim, nossa série vai ser:

f x = cos ⁡ x = 1 2 ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k - 1 ! ⋅ x - π 6 2 k - 1 + 3 2 ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k ! ⋅ x - π 6 2 k

Resposta

  1. sen ⁡ x = 1 2 ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k ! ⋅ x - π 6 2 k + 3 2 ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k + 1 ! ⋅ x - π 6 2 k + 1
  2. cos ⁡ x = 1 2 ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k - 1 ! ⋅ x - π 6 2 k - 1 + 3 2 ∑ k = 0 ∞ - 1 k 2 k ! ⋅ x - π 6 2 k

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